Úhly
Přihlásit se
Úhly (9/10) · 9:11

Součet vnitřních úhlů v mnohoúhelníku Víme, že součet vnitřních úhlů trojúhelníku je 180 stupňů. Jak to bude v dalších mnohoúhelnících?

Navazuje na Přímky.
Už víme, že součet vnitřních úhlů trojúhelníku je 180 stupňů. Pokud velikost tohoto úhlu je A, velikost tohoto úhlu tady je B a a velikost tohoto úhlu je je C, víme, že A plus B plus C je 180 stupňů. Co ale se stane v mnohoúhelnících, které mají více než 3 strany? Zkusme třeba čtyřúhelník, 4 strany, a chci, aby byl nepravidelný. Abych ukázal, že to platí pro všechny čtyřúhelníky, nejen ty, které mají pravé úhly a rovnoběžné strany, ale i všechny ostatní. Tento vypadá skoro jako rovnoběžník, takže to raději nakreslím takto. Způsob, jakým o tom můžete přemýšlet, s jakýmkoliv čtyřúhelníkem, je, že už víme toto: Součet velikostí vnitřních úhlů trojúhelníku dává 180 stupňů. Takže možná bychom to mohli rozdělit na 2 trojúhelníky. Z tohoto bodu, pokud potáhneme čáru takto, rozdělím to na 2 trojúhelníky. Tak pokud velikost tohoto úhlu je A, velikost tohoto úhlu je B, velikost tohoto je C, víme, že A plus B plus C je 180 stupňů. Pokud nazveme tento X, tento Y a tento Z, to jsou velikosti těch úhlů, Víme že X plus Y plus Z je 180 stupňů. Takže pokud chceme součet velikostí všech vnitřních úhlů, budou to všechny vnitřní úhly, takže B plus Z, to jsou tyto 2, plus tento úhel, který bude A plus X, A plus X je celý jeden úhel čtyřúhelníku. Plus celý tento úhel, který bude C plus Y. A když víme, že A plus B plus C je 180 stupňů, a víme, že Z plus X plus Y je 180 stupňů. Takže plus 180 stupňů bude 360 ​​stupňů. Myslím, že už vidíte hlavní myšlenku. Musíme jen zjistit, na kolik trojúhelníků můžeme něco rozdělit. Pak to jen vynásobíme 180 stupni, jelikož každý z těch trojúhelníků má 180 stupňů. Udělejme si ještě jeden příklad a pak to zkusíme zobecnit, zobecnit kolik trojúhelníků se vejde dovnitř. Nakreslím nepravidelný pětiúhelník. 1, 2, 3, 4, 5. Vypadá spíš jako nakloněný dům. Ještě jednou, do tohoto pětiúhelníku můžeme nakreslit trojúhelníky. Zde bude jeden. Zde bude další, takže můžu nakreslit 3 nepřekrývající se trojúhelníky, to perfektně pokryje celý pětiúhelník. Zde je jeden trojúhelník, tu další a tu ještě jeden. Víme, že každý z nich má 180 stupňů, pokud vezmeme součet jejich vnitřních úhlů. A víme také, že součet všech jejich vnitřních úhlů se rovná součtu vnitřních úhlů celého mnohoúhelníku. Ať to vidíme lépe, zřejmě tento úhel je jedním z úhlů mnohoúhelníku. I tento. Když vezmeme součet tohoto a tohoto, dostanu jeden celý úhel. Když vezmeme součet tohoto a tohoto, dostanu celý tento. Potom vezmeme součet tohoto, tohoto a tohoto, dostaneme celý vnitřní úhel. Takže pokud vezmete součet všech vnitřních úhlů všech trojúhleníků, máte vlastně všechny vnitřní úhly mnohoúhelníku. V tomto případě máte 1, 2, 3 trojúhelníky, 3 krát 180 stupňů se rovná čemu? 300 plus 240 je 540 stupňů. Pojďme to zobecnit. Nejdříve si musíme uvědomit, že ke 2 trojúhelníkům jsme potřebovali 4 strany, museli jsme využít všechny 4 strany tohoto čtyřúhelníku. Museli jsme použít 4 z 5 stran v tomto pětiúhelníku, 1, 2 a potom 3, 4. Takže 4 strany vám dají 2 trojúhelníky. Vypadá to, že každá další strana vám pak dá další trojúhelník. Vyzkouším teď šestiúhelník. Schválně, kolik trojúhelníků v něm dostanu. 1, 2, 3, 4, 5, 6 stran. Můžu mít 1trojúhelník z těchto 2 stran, 2 strany původního šestiúhelníku, z těchto 2 stran původního šestiúhelníku můžu mít další trojúhelník. A vypadá to, že můžu mít další trojúhelník z každé ze zbývajících stran. Takže jeden z této, a pak jeden z této zde. Takže obecně se zdá... Kdybych měl mnohoúhelník s S stranami, S-úhelník. Už jsme tu měli čtyřúhelník, pětiúhelník i šestúhelník. Takže budeme předpokládat, že S je větší než 4. Takže mám mnohoúhelník s S stranami a chci zjistit, kolik nepřekrývajících se trojúhelníků se vejde do toho mnohoúhelníku. Kolik se jich vejde dovnitř. Pak musím jen vynásobit počet trojúhelníků krát 180 stupňů. Tak zjistíme, jaký je součet vnitřních úhlů toho mnohoúhelníku, Takže si chci napsat počet trojúhelníků jako funkci počtu stran. Ještě jednou, použijeme 4 strany na vytvoření 2 trojúhelníků. Tady mám 2 strany. Tady další 2. Tady můžu nakreslit 1 trojúhelník. Nezajímá mě teď, co se stane s ostatními stranami. Můžete si to představit jako zakryté velkým černým kusem papíru. Mohou tam být i další strany, ale to mě teď nezajímá. Takže z těchto 2 stran mohu takto nakreslit 1 trojúhelník. Z těchto 2 stran zde můžu nakreslit další trojúhelník. Takže ze 4 stran mám 2 trojúhelníky. Poté, bez ohledu na to, kolik stran mi zbylo, použil jsem 4 strany, ale pak tu můžu mít různé šílenosti. Nakreslím si to trochu hezčí. Takže tady můžu mít všechny možné šílenosti. Vypadá to, že z každé další strany můžu mít další trojúhelník. 1 trojúhelník z této strany, 1 z této, 1 z této a 1 z této strany. Například, toto co jsem tu nakreslil, je dost nepravidelné. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, je to správné? 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Je to desetiúhelník. V tomto desetiúhelníku jsme použili 4 strany na výrobu 2 trojúhelníků. A pak každá ze zbývajících 6 stran byla schopna vytvořit další trojúhelník. Zbývajících stran mám 1, 2, 3, 4, 5... Je to správně? Kolik jich mám celkem? Mám 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Spočítal jsem to správně, nepřehlédl jsem něco? Už to vidím, musím sem ještě dokreslit 1 čáru. Toto jsou 2 různé strany. Takže další čáru... Z této strany musím dostat další trojúhelník. Tady to máte. Mám tyto 2 trojúhelníky ze 4 stran. Potom z každé ze 6 zbývajících stran dostanu další trojúhelník. Plus 6 trojúhelníků, to je celkem 8 trojúhelníků. Takže o tom můžeme popřemýšlet obecně. První 4 strany, 2 trojúhelníky. Zapíšu to. Náš počet trojúhelníků se bude rovnat 2, už jsem použil 4 strany, ze zbylých stran dostanu vždy 1 trojúhelník. Zbývajících stran bude S minus 4. Počet trojúhelníků bude 2 plus S minus 4. Což je S minus 2. Takže, pokud mám mnohoúhelník s S stranami, můžu z něj dostat S minus 2 trojúhelníků, které ho úplně pokryjí a nepřekrývají se. To nám říká, že mnohoúhelník s S stranami, který má S minus 2 trojúhelníků, má součet vnitřních úhlů S minus 2 krát 180 stupňů, což je super výsledek. Takže, pokud vám někdo řekne, že má mnohoúhelník se 102 stranami, takže S se rovná 102 stran. Můžete říci, že součet vnitřních úhlů bude 102 minus 2, takže 100 krát 180 stupňů, což se rovná 180 se 2 nulami za tím. Takže to je 1 800 stupňů, součet všech vnitřních úhlů 102-úhelníku.
video