Obvod a obsah
Obvod a obsah (2/26) · 10:23

Důkaz výpočtu obsahu trojúhelníku Důkaz, že obsah každého trojúhelníku je polovina délky jeho základny krát jeho výška.

Navazuje na Rovinné obrazce.
Teď už víme, jak spočítat obsah obdélníků. V tomto videu se chci zaměřit na výpočet obsahu trojúhelníků. Začneme s pravoúhlým trojúhelníkem s pravým úhlem zde. Pravoúhlý trojúhelník ABC. Zamysleme se nad tím, jak nalézt jeho obsah. Možná bychom mohli vytvořit obdélník z trojúhelníku ABC. A když z něj vytvoříme obdélník, možná budeme moci nějak zjistit obsah jeho části. Nejlépe vytvoříme obdélník, když zkopírujeme trojúhelník ABC, ten druhý převrátíme a položíme na ten první. Ověříme, zda toto bude opravdu obdélník. Víme, že toto je 90 stupňů. Řekněme, že zde je x stupňů. x plus 90 plus toto se musí rovnat 180. Takže tyto dva úhly musí být dohromady 90 stupňů. Nazveme toto '90 minus x'. Teď to obrátíme a otočíme, aby to vypadalo nějak takhle. Abychom měli další trojúhelník, který vypadá takhle. Pravý úhel v tom převráceném je teď tento pravý úhel. Tento úhel 'x' je i zde. A '90 minus x' je teď tady. Jak vidíte, 'x' plus 90 minus 'x' je pravý úhel. A tady je také 'x' plus 90 minus 'x', tedy pravý úhel. Máme 4 strany se 4 pravými úhly, takže toto je opravdu obdélník. A ten je složen z našich 2 trojúhelníků. Můžeme napsat, že obsah trojúhelníku ABC, obsah trojúhelníku ABC (to vyjadřují ty závorky) se bude rovnat 1/2 krát obsah našeho obdélníku. Náš celý obdélník, přidám sem jeden bod. Označím ho D, bude 1/2 obsahu obdélníku ABCD. My víme, jak nalézt obsah obdélníku ABCD. Bude se rovnat… Bude se rovnat základně obdélníku. Toto tedy bude 1/2 krát tato část. Obtáhnu ji jinou barvou. Obsah obdélníku ABCD se rovná délce jeho základny nebo jeho šířce. To je jen délka BC. Dávám to do závorek. BC jen znamená délku této úsečky. V závorkách je to pro vyšší přehlednost. Takže to bude základna nebo šířka krát výška obdélníku. Tedy krát AB. Krát AB. Základna krát výška se rovná obsahu celého obdélníku. Obsah pravoúhlého trojúhelníku je polovina tohoto. Tak to máme. Je to 1/2 základny krát výška. To je obsah pravoúhlého trojúhelníku. Pokud máte obecně jakýkoliv pravoúhlý trojúhelník a toto je jeho pravý úhel. Potřebujete jeden pravý úhel, aby to byl pravoúhlý trojúhelník, Základna má délku 'b' a tato strana délku 'h', víte, že obsah bude roven 1/2 krát základna trojúhelníku, tedy polovina základny BC krát výška trojúhelníku. Můžete to vidět při pohledu na jednotlivé body. Pokud použijete tyto rozměry jako základna krát výška, také je to polovina základny krát výška. Víme, že to funguje pro pravoúhlé trojúhelníky. Podívejme se na jiné typy trojúhelníků, které nemusí být pravoúhlé. Tady máme obecný trojúhelník ABC. Abychom přišli na jeho obsah, rozdělím ho na dva pravoúhlé trojúhelníky. Nakreslím kolmici z bodu B. Pokud by to byl reálný objekt, prostě bych odtud něco upustil přímo dolů. Tato čára je pak kolmá k základně AC. Pojmenuji ten bod D. Užitečné je, že jsme sestrojili, že jsme ten jeden trojúhelník rozdělili na dva pravoúhlé trojúhelníky. Můžeme tedy říct, napíšu to takhle, můžeme říct, že obsah trojúhelníku ABC, to je to, co potřebujeme zjistit, obsah ABC se rovná obsahu tohoto tvaru, rovná se obsahu trojúhelníku ABD, plus obsah trojúhelníku, tohoto fialového trojúhelníku. Plus obsah BCD. BCD. A to je užitečné, protože víme, jak vypočítat obsah pravoúhlých trojúhelníků. Tady je úhel 90 stupňů a tady je taky 90 stupňů. Obsah ABD je 1/2 základny krát výška, což bude 1/2 krát základna, což je délka AD, 1/2 krát AD krát výška, což je délka BD, za předpokladu, že ji zjistíme. Takže tohle krát tato délka, BD. To je obsah toho modrého trojúhelníku, teď zjistíme obsah fialového trojúhelníku. Opakuji, je to pravoúhlý trojúhelník. Bude to 1/2… Napíšu to fialovou. Bude to 1/2 krát délka této základny, což je DC. Délka úseku DC krát délka BD. Znovu krát délka BD. Nyní můžeme vytknout 1/2, můžeme vytknout 1/2 BD z obou těchto výrazů. Dostaneme 1/2 BD krát AD, zbylo nám tu AD. To není stejný odstín modré. Zbylo nám tu AD plus DC. Zavřeme závorku. Co je AD plus DC? AD je délka, tato délka. A DC je tato délka. Pokud sečtete obě tyto délky, dostanete délku AC. Celá takhle závorka je délka AC. Takže nám tady zůstalo, že obsah ABC se rovná… Použiji novou barvu. Rovná se 1/2 a teď jen přehodím tohle pořadí. 1/2 krát AC krát BD. Krát BD. A co to vlastně znamená? Je to polovina základny, což je AC, krát výška, což je BD. Je to docela super. Fungovalo to pro pravoúhlé trojúhelníky a pokud známe výšku trojúhelníku… Není to jedna ze stran. U pravoúhlého trojúhelníku to byla jedna ze stran. U libovolného trojúhelníku to tak není. Ale pokud výšku známe, obsah tohoto trojúhelníku je stále 1/2 délky základny krát výška. Co trojúhelník jako tento? Jak vypočítáme jeho obsah? Zkusme udělat to samé jako předtím. Podívejme se, jestli nějak dokážeme složit toto z pravoúhlých trojúhelníků nebo přikreslit další pravoúhlý trojúhelník a udělat z toho jiný pravoúhlý trojúhelník. Nejjednodušeji to uděláme tak, že jakoby pustíme kámen odtud a tam kde dopadne, vytvoří pravý úhel. Nazveme to bod D. A to, co nás zajímá je, obsah, který chceme spočítat, chceme spočítat obsah trojúhelníku ABC. Takže toto nás zajímá. Chceme spočítat obsah trojúhelníku ABC. Obsah trojúhelníku ABC bude obsah tohoto většího pravoúhlého trojúhelníku, který jsme vytvořili. Bude to tento větší trojúhelník. Bude to obsah ADB minus obsah tohoto malého trojúhelníku zde. Minus obsah ADC. Tento modrý trojúhelník ADB je celek. Tohle je celek, jen abychom si ujasnili, o čem mluvíme. Takže jaký je obsah ADB? Víme, jak spočítat obsah pravoúhlého trojúhelníku. ADB, obsah ADB bude 1/2 naší základny, což je DB, délka úseku DB krát naše výška, což je délka AD. Krát AD. A od tohoto chceme odečíst obsah toho malého trojúhelníku. To je 1/2 základny, což je DC, to je délka naší základny DC, krát výška, což je AD. AD. Tady můžeme vytknout 1/2 a také AD. 1/2 a AD, tak to udělejme. Vytkneme 1/2 krát AD. A uvnitř nám zbude DB minus DC. Co je DB minus DC? Napíšu ty závorky zase bíle. Máme DB minus DC. Pokud vezmete délku, DB je délka celého obrazce. Od té délky odečtete DC, zbude vám CB. Takže tato závorka je C, je to CB. A tak obsah ABC bude roven 1/2 krát CB… Jenom přehazuji pořadí činitelů. Vezmu si žlutou barvu. 1/2 krát CB krát AD. No a co to je? Ještě jednou, to je 1/2 naší základny krát výška. A opět výška v tomto případě, protože to není pravoúhlý trojúhelník, není to jedna ze stran. Tuto informaci musíte mít zadanou. Musíte přijít na to, co ta výška vlastně je. Co potřebujeme vědět je, že v každém druhu trojúhelníku se obsah spočítá jako 1/2 základny krát výška. Výška je, když máte strany pravoúhlého trojúhelníku, tak je to lehké. Pro ty ostatní, pokud není zadaná, musíte to nějak chytře obejít a nějak na výšku přijít. Každopádně doufám, že to bylo užitečné.
video