Podobnost trojúhelníků
Podobnost trojúhelníků (7/13) · 8:35

Věta o ose úhlu a její důkaz Vysvětlení, co to je ona věta o ose úhlu, její důkaz a zajímavé důsledky z pohledu podobnosti.

Navazuje na Pythagorova věta.
Nejprve vám chci ukázat, co vlastně věta o ose úhlu je, a pak si ji i sami dokážeme. Mám tady obecný trojúhelník, trojúhelník ABC, a nakreslím osu úhlu β (∠ ABC), tady nahoře. Mohli jsme nakreslit osu jakéhokoliv úhlu, ale já udělám jen tuhle jednu - trochu nám to zlehčí náš důkaz. Nyní přepůlím úhel β, takže řekněme, že tohle je osa úhlu β. Takže úhel vlevo se rovná úhlu vpravo a tomuto bodu dole budeme říkat D. Věta o ose úhlu nám říká, že poměry mezi stranami jinými než BD budou stejné. Takže když dám osu úhlu sem, vytvořil jsem dva menší trojúhelníky z ABC. Věta o ose úhlu nám říká, že poměry mezi stranami těchto dvou trojúhelníků, které jsme teď vytvořili, budou stejné. Takže nám říká, že poměr strany AB a AD se bude rovnat poměru stran BC a CD. Napíšu to barevně. Poměr této strany a této strany se bude rovnat poměru téhle strany a téhle strany. Najednou vidíte, že poměr tohohle a tohohle bude stejný jako poměr tohoto a tohoto, což je docela super výsledek, ale nemůžete tomu prostě jen tak věřit, jen protože je to super. Chcete si to dokázat sami, a tak byste si mohli představit, že máme nějaký určený poměr. Dokážeme to s použitím podobnosti trojúhelníků a naneštěstí pro nás, tyto dva trojúhelníky nejsou nutně podobné. Víme, že tyto dva úhly jsou shodné, ale nevíme, jestli se je úhel BAD stejně velký jako úhel BCD. Dokud to nevíme, tak nemůžeme nic takového prohlásit, takže abychom to skutečně dokázali, musíme zkonstruovat další trojúhelník, který by byl shodný s jedním z nich. Jeden způsob, jakým to udělat, by bylo nakreslit další přímku. Tento důkaz mi nebyl jasný hned napoprvé, takže se nebojte, když vám to nebude jasné. Co se stane, když prodloužíme osu úhlu β? Pojďme ji prodloužit, bude pokračovat - dál a dál a dál... a možná bychom mohli zkonstruovat i trojúhelník podobný tomuto trojúhelníku, když nakreslíme přímku rovnoběžnou s AB sem dolů. Pojďme to vyzkoušet. Můžete vždycky najít bod C, pokud neleží na AB. Vždycky můžete najít přímku, která prochází bodem C a která je rovnoběžná s AB. Takže pojďme podle definice sestrojit další přímku. Tomuto bodu budeme říkat bod F. Vyberme tuto přímku tak, aby FC byla rovnoběžná s AB, FC je rovnoběžné s AB A nyní máme něco zajímavého. Udělali jsme to proto, abychom měli tyto dva podobné trojúhelníky. Uvidíme, co se stane. Před přemýšlením nad podobností, přemýšlejte nad úhly nebo nad tím, co o nich víme. Víme, že máme střídavé vnitřní úhly, takže co s těmito dvěma rovnoběžkami? Mohu si představit, že AB a FC jsou přímky a přímka BD je příčka. Potom jakýkoliv úhel ABD bude, tenhle úhel... BCD... bude stejný, protože ABD a BCD jsou střídavé vnitřní úhly. O těch jsme se zmínili, když jsme poprvé mluvili o úhlech, příčnkách atd. Tyto dva úhly tedy budou stejné, ale úhly DBC a DFC budou také stejné, protože ABD a DBC dohromady tvoří úhel β. Toto je osa. A protože je to osa, tak víme, že úhel ABD je stejný jako úhel DBC. Takže jakýkoliv tento úhel je, tyhle budou stejné, což nám dává docela zajímavý výsledek protože tady máme situaci, kde, když se podíváme na tento větší trojúhelník BFC, máme dva úhly při základně, které jsou stejné, což znamená, že tento trojúhelník musí být rovnoramenný. BC musí být stejná jako FC, což je docela zajímavé. Právě jsme použili příčnku a střídavé vnitřní úhly, abychom ukázali, že je tento trojúhelník rovnoramenný a že BC a FC jsou stejné, což by se mohlo hodit, protože tušíme, že tenhle a tenhle trojúhelník budou shodné, což jsme ještě nedokázali. Ale jak nám to pomůže zjistit něco o BC? Právě jsme si ukázali, že jsou úsečky BC a FC stejné, takže poměr stran v novém trojúhelníku bude stejný. Jestli dokážeme, že poměr délky úseček AB a AD je stejný jako poměr délky úseček FC a CD, máme to, protože BC, jak jsme si právě ukázali, je shodná s FC. Ale tím předpokladem nebudeme začínat, pojďme se k němu dostat. Takže FC je rovnoběžná s AB, což nám pomohlo sestrojit tento rovnoramenný trojúhelník a ukázat si, že tyto strany jsou shodné. Teď se pojďme podívat na některé z ostatních úhlů, jen pro dobrý pocit. Když se podíváme na trojúhelník ABD a trojúhelník FDC, vidíme, že už jsme stanovili, že mají úhly, které jsou stejné, a oba také mají... Jeden z nich má úhel ADB, což je vrcholový úhel k úhlu FDC, takže jsou stejné. Víme také, že dva trojúhelníky mající dva stejné úhly, - vlastně všechny tři - jsou si podle věty UU podobné. Napíšu to. Chcete se ujistit, že jste nespletli odpovídající strany. Víme, že podle UU... (začnu od tohoto zeleného) ...je trojúhelník... (pak pokračuji přes ten modrý úhel) BDA je podobný trojúhelníku... (a znovu začneme od tohoto zeleného úhlu, pak budeme pokračovat přes modrý) trojúhelníku FDC. A tím se nakonec dostaneme k větě o ose úhlu. Chceme se podívat na poměr mezi stranami AB a AD. V podobných trojúhelnících můžete zjistit, že poměry mezi odpovídajícími stranami podobných trojúhelníků budou stejné nebo byste mohli zjistit poměry mezi dvěma stranami podobného trojúhelníku a porovnat je s poměrem stejných dvou odpovídajících stran druhého trojúhelníku. Měly by být stejné. Podle podobných trojúhelníku víme, že poměr stran délky AB... A tohle jsme mimochodem určili díky větě UU o podobnosti trojúhelníků. Napíšu to. Nyní víme, že jsou podobné, a víme, že poměr AB ku AD bude stejný jako... Na odpovídající strany se můžete dívat sem. ...poměr bude stejný jako CF (strana odpovídající AB) (a strana odpovídající AD je CD), takže lomeno CD. Teď víme nejen, že poměr AB:AD = CF:CD, ale také jsme si právě dokázali, (protože se jedná o rovnoramenný trojúhelník) že délka CF = BC CF je to samé jako BC. A máme hotovo! Právě jsme dokázali, že |AB|:|AD| = |BC|:|CD|. Takže jsou dvě věci, které jsme museli udělat: Nejprve zkonstruovat další trojúhelník, který nám dal (za předpokladu, že tohle jsou rovnoběžky) dvě věci. Dal nám další úhel, abychom mohli dokázat podobnost a také nám dovolil... (pardon, mám sucho v krku) (Měl bych vypít sklenku vody až dotočím.) Takže pomocí tohoto trojúhelníku dokážeme podobnost a navíc sestrojíme větší rovnostranný trojúhelník, díky kterému dokážeme najít poměr mezi dvěma stranami těchto trojúhelníků. Když potom najdeme poměr této strany a této strany, je stejné jako poměr této strany s touto stranou. Z toho vyplývá, že poměr téhle strany a téhle strany jsou stejné jako poměr BC a CD. A jsme hotovi!
video