Podobnost trojúhelníků
Přihlásit se
Podobnost trojúhelníků (1/13) · 6:40

Podobnost čtyřúhelníků Porovnávání velikostí vnitřních úhlů čtyřúhelníku k dokázání jejich podobnosti. Ukážeme si, že stačí, aby tři úhly byly stejné.

Navazuje na Pythagorova věta.
Ze čtyřúhelníku EFGH - což je tento dole, se stal pomocí několika úprav čtyřúhelník ABCD. Pak máme zadány ještě jiné údaje, jsou napsány tady. Velikost úhlu A je 69 stupňů. Velikost úhlu B je 102 stupňů. Velikost úhlu G je 145 stupňů. A velikost úhlu H je 44 stupňů. Které z těch tvrzení napravo nám stačí, abychom mohli říct, že jediné úpravy, které byly použity, jsou posunutí, rotace, zrcadlení a zvětšení, a žádné jiné? Tedy jinými slovy, pokud jsme použili pouze posunutí, rotaci, zrcadlení a zvětšení, pak to znamená, že tyto 2 útvary jsou si podobné. Pokud to tak bude v tomto případě, pak zde vidíme 2 podobné čtyřúhelníky. Neboli, které z těchto tvrzení... Tedy buď první tvrzení, nebo druhé tvrzení, nebo obě, nebo ani jedno... Které z těchto tvrzení stačí, abychom určili podobnost těchto dvou čtyřúhelníků. Z prvního by se stal druhý, jemu podobný, kdybychom použili pouze překlopení, rotaci, zrcadlení a zvětšení. Podívejme se na první tvrzení. Velikost úhlu C by měla být 145 stupňů. Říkají nám, že tady ten úhel by měl mít velikost 145 stupňů. A taky nám tvrdí, že velikost úhlu E je 69 stupňů. Takže toto by mělo být 69 stupňů. Takže s touto informací známe 3 úhly z každého čtyřúhelníku. A jelikož známe 3, dokážeme vypočítat ten čtvrtý. Dokážeme ho vypočítat, protože součet úhlů ve čtyřúhelníku dohromady dává 360 stupňů. Pokud chceme vypočítat velikost úhlu F, ten je tady, jeho velikost označíme jako x. Můžeme říct, že x plus 69 stupňů plus 145 stupňů plus 44 stupňů se rovná 360 stupňů. Vytáhneme si na to kalkulačku. Naše x je v podstatě 360 minus všechny tyto hodnoty. Tedy 360 minus 69 minus 145 minus 44 je 102 stupňů. Tento úhel je tedy 102 stupňů. Všimněte si, že už mají 3 úhly společné, shodné. Zapíšu to barevně. Tento úhel má velikost 69 stupňů. Tento taky. Když se přesuneme, tento úhel má velikost 102 stupňů, stejně jako tento. Další úhel, tento, má 145 stupňů, to by odpovídalo tomuto. A jestliže známe velikost 3 úhlů, pak víme, že tento poslední, čtvrtý musí být 44 stupňů. Od 360 odečteme 145, 102 a 69, a dostaneme 44 stupňů. Máme 2 čtyřúhelníky, kde jsou všechny úhly shodné. Pokud tedy máme tyto dva útvary, a všechny odpovídající úhly jsou shodné, pak víme, že ty útvary jsou si podobné. A pokud víme, že jsou si podobné, víme, že můžeme z jednoho udělat druhý pouhou kombinací překlopení, cože je ve skutečnosti posun ve dvou směrech, otočení okolo několika bodů, zrcadlení, což znamená převrácení přes linku, a zvětšení nebo zmenšení. To první tvrzení je tedy určitě správně. Zkusme zjistit, jestli nám i to druhé nezávisle pomůže určit, jestli jsou si ty útvary podobné. Toto smažu, abych měl prostor na počítání. Smažu toto i toto. Pojďme se zamyslet, co se dozvídáme z druhého tvrzení. Druhé tvrzení nám udává velikost úhlu D 44 stupňů. Takže toto by mělo být 44 stupňů. A velikost úhlu F je 102 stupňů. Zase, známe o jeden úhel ve čtyřúhelnících víc. A s jejich pomocí už dokážeme vypočítat ten poslední. Pokud známe všechny úhly ve 2 čtyřúhelnících, můžeme určit, jestli jsou si podobné. Budou si podobné, jenom za předpokladu, že čtyři odpovídající si úhly budou navzájem shodné. Já vám to dokážu, abyste si nemysleli, že to tvrdím jen tak. Vypočítejme tento poslední úhel. Zase můžeme vytáhnou kalkulačku. Bude to 360 minus 102 minus 145 minus 44, což se rovná 69 stupňům. Takže toto je 69 stupňů. Všimněte si, 102 stupňů, potom 69 stupňů, potom 44 stupňů. Takže tento poslední úhel musí být 145 stupňů, přesně jako tento. Když 3 z úhlů jsou stejné, tak ten čtvrtý musí být stejný také. Tento úhel tedy odpovídá tomuto úhlu. Tento úhel tomuto. Tento úhel dopovídá tomuto. A nakonec, tento úhel odpovídá tomuto úhlu. Máme 2 čtyřúhelníky. A všechny jejich vnitřní úhly jsou shodné. Všechny si odpovídají. Čtyřúhelníky si tedy musejí být podobné. A tedy můžeme udělat z jednoho druhý, překlopením, rotací, zrcadlením a zvětšením. Toto tvrzení je tedy také pravdivé. Vlastně tedy obě z nich jsou dostačující, abychom určili, že jediné úpravy, které byly použity, byly tyto. Označil bych tedy, že obě odpovědi jsou správné.
video