Podobnost trojúhelníků
Podobnost trojúhelníků (9/13) · 10:07

Výpočet obsahu pomocí podobnosti a shodnosti V tomto příkladu si rozdělíme rovnostranný trojúhelník na 4 části, využijeme znalosti ohledně podobnosti a vypočítáme obsah tohoto trojúhelníku.

Navazuje na Pythagorova věta.
Máme tu příklad, ve kterém víme, že trojúhelník ACE je rovnoramenný. To je tento velký trojúhelník. Je rovnoramenný, což znamená, že má dvě stejně dlouhé strany a také víme, díky tomu, že je rovnoramenný, že úhly u základny musí být stejné. Tedy tyto dva úhly u základny jsou stejné. A tato strana zde je stejně dlouhá jako tato strana. Můžeme říct, že AC je rovno CE, to vše víme díky informaci, že trojúhelník je rovnostranný. Pak zde máme další nápovědy, údaje. Víme, že CG má délku 24, zde je CG a je to 24. Též víme, že BH je rovné DF, tedy tyto dvě strany jsou stejné, mají stejnou délku. Pak víme, že GF je rovno 12, GF je rovno 12, přímo tato vzdálenost. Pak nám konečně řeknou, že FE je rovno 6, toto je FE. Ptají se na obsah útvaru CBHFD. Ptají se nás na obsah této části přesně zde. Tato část a tato část je CBHFD. Jak to můžeme spočítat? Můžeme zjistit, jaký je obsah velkého trojúhelníku a pak z toho můžeme odečíst obsahy těchto malých kousků. Tím dokážeme zjistit tento obsah, který jsem vystínoval. Ale nemáme všechny informace k tomu, abychom to vyřešili. Nevíme výšku tohoto trojúhelníku. Nevíme základnu, kdybychom věděli základnu, tak si řekneme: polovina základny krát výška je obsah trojúhelníku a pak stačí zjistit rozdíl těchto obsahů. Ale nemáme všechny informace. Nevíme tuto výšku, jakmile ji zjistíme, tak můžeme zjistit tuto výšku, ale také vlastně nevíme, kolik je tato vzdálenost. Takže to vezmeme hezky postupně. První věc, kterou chceme udělat, co by vás mohlo napadnout, protože tu mluvíme hodně o podobnostech, je zkusit použít nějakou podobnost, protože tu je spousta podobných trojúhelníků. Například trojúhelník CGE má stejný úhel zde jako trojúhelník DFE. Oba sdílejí tento úhel a oba mají tento pravý úhel. Tedy mají dva společné úhly a budou tudíž podobné podle věty uu. Vidíme, že třetí úhel mají stejný, protože tyto dvě přímky jsou rovnoběžné. Tedy víme, že trojúhelník CGE je podobný trojúhelníku DFE. Víme to z věty uu. Máme tu dva stejné úhly a tento úhel je v obou trojúhelnících, tedy to je několik odpovídajících souhlasných úhlů zde. A když tedy už víme, že jsou podobné, tak můžeme zjistit poměr mezi jejich stranami, protože známe nějaké strany. Víme poměr mezi DF a touto stranou zde. Víme poměr mezi DF a CG, poměr mezi DF a CG, což je 24, bude stejný jako poměr mezi FE, FE je 6, a GE, které není 12, ale 12 plus 6, tedy 18. Pak máme: 6 ku 18 je 1 ku 3, tedy 3 krát DF je rovno 24. Jen jsem to vynásobil křížem, nebo jsem mohl obě strany vynásobit 24, vynásobit obě strany 3 a získáme tohle. Vlastně stačí vynásobit obě strany 24 a pak získáme 24 krát 1 ku 3. Vydělíme obě strany 3 a získáme, že DF je rovno 8. Tedy víme, že DF je rovno 8, tato délka zde. To je užitečné. Protože víme, že také tato délka je 8. A co teď můžeme udělat? Můžeme udělat další výpočet na základě podobnosti, protože máme tento úhel zde a ten je souhlasný s tímto úhlem zde. A také máme tento úhel, který je 90 stupňů. Máme pravý úhel zde a vlastně to stačí k tomu, abychom řekli, že tyto dva trojúhelníky jsou podobné. Ani nemusíme ukázat, že tyto strany jsou shodné, vlastně ukážeme, že tyto trojúhelníky zde jsou shodné. Máme tedy dva úhly a vlastně to můžeme přímo udělat, protože jsme mluvili o shodnosti. Pokud máte úhel, který je stejný s jiným úhlem, a jiný úhel, který je stejný s jiným úhlem, a pak stranu, která je souhlasná s jinou stranou, tak máte 2 stejné trojúhelníky. Tedy můžeme napsat, že trojúhelník zde, napíšu to růžově, trojúhelník AHB je stejný jako trojúhelník, musíte mít správně vrcholy, EFD a víme to podle věty uus pro shodnost trojúhelníků. A pokud jsou dva trojúhelníky shodné, pak jsme přesvědčeni o tom, že pokud tato strana je 8, pak tato strana je též 8. To už víme, použili jsme to pro shodnost. Ale nově víme, že pokud je tato strana dlouhá 6, pak odpovídající strana tohoto trojúhelníku je také dlouhá 6. Tedy můžeme napsat, že tato délka zde je 6. Teď si dokážu představit, vy si dokážete představit, kam to povede, ale my chceme sami sobě dokázat, chceme se ujistit, že víme, kolik je obsah. Nechceme jen hádat, že tohle je stejné jako toto. Chceme to skutečně dokázat. Tak jak na to přijít. Skoro jsme přišli na celou základnu, ale pořád jsme nenašli délku HG. Můžeme znovu použít podobnost, protože vidíme, že trojúhelník ABH je podobný trojúhelníku ACG. Oba mají společný tento úhel a oba mají pravý úhel. Jeden má ABH zde a ACG jej má zde. Tedy máme dva odpovídající si úhly, co jsou stejné. Tedy máme podobné trojúhelníky. Víme, že trojúhelník ABH, budu to psát AHB, protože jsem tohle již napsal takto, AHB je podobný trojúhelníku AGC. Chceme se ujistit, že máme dobře vrcholy. A je oranžový úhel, G je pravý úhel a C je neoznačený úhel. Tohle je podobné trojúhelníku AGC. Díky tomu můžeme použít poměr k zjištění délky HG. Můžeme říct, že 8 ku 24, BH ku odpovídající straně většího trojúhelníku… Takže máme, že 8 ku 24 je rovno 6 ku, ne HG, ale AG. A myslím si, že teď už vidíte, kam to směřuje. Máme jednu třetinu rovnou 6 ku AG, nebo to můžeme násobit křížem a získáme tak, že AG je rovno 18. Tedy tahle celá délka je 18, pokud AG 18 a AH je 6, pak HG je 12. A tohle jste mohli uhodnout, pokud jste se snažili hádat. Ale teď jsme si dokázali, že tato základna má délku, máme zde 18, a dalších 18 zde, což je 36. Tedy celá základna je 36 Teď můžeme zjistit obsah tohoto velkého trojúhelníku, tohoto celého rovnoramenného trojúhelníku. Tedy obsah ACE bude roven jedné polovině krát základna, což je 36, krát 24. A to bude stejné jako jedna polovina krát 36, to je 18, 18 krát 24, udělám to tady na vrchu, tedy 18 krát 24. 8 krát 4 je 32, 1 krát 4 je 4, plus 3 je 7, sem napíšu 0, protože nepočítáme s 2 ale s 20, 2 krát 8 je 16, 2 krát 1 je 2, plus 1, takže 316 a pak máme 2, 7 plus 6 je 13, 1 plus 3 je 4. Tedy obsah ACE je roven 432, ale tím jsme ještě neskončili. Ten obsah, který nás zajímá, je obsah celého trojúhelníku minus obsah tohoto a minus obsah tohoto zde Tedy jaký je obsah každého tohoto klínu zde. To je jedna polovina krát 8 krát 6, tedy jedna polovina krát 8, je 4, krát 6. Tedy to je 24 zde a dalších 24 zde. Tedy to bude rovno 432 minus 24 minus 24, nebo rovnou minus 48. Což je rovno… Můžeme to zkusit vypočítat rovnou z hlavy. Pokud odečteme 32, tak získáme 400 a pak musíme odečíst dalších 16. Pokud odečteme 10 od 400, tak máme 390, pak získáme 384 čehokoli, nevíme jednotky. Pokud by to byl metr, tak metr čtverečný. Pokud by to byl centimetr, tak centimetr čtverečný. Je to dobře? Zkusíme to jinak, pokud bych přičetl 40 k tomuto, 24, plus dalších 8, tak se dostanu na 432. Jo, jsme hotovi.
video