Podobnost trojúhelníků
Přihlásit se
Podobnost trojúhelníků (13/13) · 6:49

Podobnost trojúhelníků aplikovaná na kulečníkový stůl. Využití znalosti podobností trojúhelníků v praktickém případě. Chceme vypočítat, odkud musíme odrazit kouli na kulečníkovém stole, aby spadla do díry.

Navazuje na Pythagorova věta.
Rozměry kulečníkového stolu jsou 1 krát 2 metry. Označím to na obrázku, tahle strana má 1 metr. Tato druhá strana má 2 metry. Stůl má dohromady 6 děr. 4 jsou v rozích a dvě uprostřed dvoumetrových stran. Bílá koule je umístěna 0,25 metru (čtvrt metru) od severní stěny a čtvrt metru od západní stěny, takže přesně tady jako na obrázku. Tady zvýrazním čtvrt metru od severní strany. A tady je čtvrt metru od západní strany. Když koule narazí na nějakou stranu pod určitým úhlem, odrazí se pod stejným úhlem. Přiblíží se ke hraně a odrazí se jako zrcadlový obraz. Když tady doprostřed nakreslíme zrcadlo, uvidíme, že obě strany jsou shodné. V jaké vzdálenosti 'x', tedy toto budeme označovat jako 'x', od jihovýchodního rohu by měla koule dopadnout na východní stěnu, aby trefila díru uprostřed jižní strany? Doporučuji vám zastavit video a zkusit si to. Napovím vám, budete využívat podobnost trojúhelníků. Tak pojďme na to. Napovím Vám víc. Víme, že dopad a odraz jsou navzájem zrcadlově stejné. To znamená, že tento úhel bude shodný s tímto úhlem A když tyto dva úhly jsou shodné, budou shodné i jejich doplňkové úhly. Je to doplněk do pravého úhlu, jejich velikost proto bude 90 minus tento úhel. Máme tedy tyto dva shodné úhly. Pojďme teď najít dva podobné pravoúhlé trojúhelníky. Jeden, ten větší, vidíme tady. Jeho horní strana je rovnoběžná s delší hranou kulečníkového stolu. A tady mám trojúhelník odvozený od odrazu, který je také pravoúhlý. Proč jsem vlastně tolik zdůrazňoval, že jsou tyto dva úhly stejné? Je to proto, že díky tomu můžeme poznat, že tyto dva trojúhelníky jsou podobné. Víme to tak, že mají shodné pravé úhly, a zároveň i tyto zeleně vyznačené. To znamená, že i ten poslední úhel bude stejný v obou případech. Pokud znáte dva úhly v trojúhelníku, ten třetí už je jasně daný. Pokud mají dva trojúhelníky dva úhly shodné, víme, že si budou podobné. Tento horní trojúhelník je podobný tomuto spodnímu. U podobných trojúhelníků jsou odpovídající strany navzájem v daném poměru. Ten je pro všechny tři strany shodný. Pojďme si vypsat, co všechno už víme o těchto trojúhelnících. Tuto vzdálenost označím 'x'. Jak je dlouhá tato strana? Pojďme se nad tím zamyslet. Víme, že tato vzdálenost je rovna čtvrt metru. A víme, že celá kratší hrana stolu má 1 metr. Tato vzdálenost musí být tři čtvrtiny metru. Pokud tohle jsou tři čtvrtiny metru, potom tohle musí být (3/4 minus 'x') metru. Tak dlouhá je tato fialová úsečka. Co dále známe? Rozhodně známe délku této strany, protože víme, že je to půlka stolu. Tady tedy napíšu 1 metr. A též známe délku této strany. Víme, že toto je 1 metr a k tomu tu ještě jsou tři čtvrtiny metru. Toto je tedy 1 a 3/4 metru, což můžeme přepsat jako 7/4 metru. Radši vše převádím ze smíšených zlomků, aby se nám pak lépe počítalo. Tyto trojúhelníky jsou si tedy podobné, pojďme zjistit koeficient podobnosti. Tak například tato zelená strana je delší odvěsnou a odpovídá zelené straně v druhém trojúhelníku, též delší odvěsnou. Tedy strany naproti zeleným úhlům si odpovídají. Můžeme teď říct, že poměr sedmi čtvrtin ku jedné je roven poměru fialových stran naproti fialovým úhlům. Bude to tedy rovno tři čtvrtiny minus 'x' ku 'x'. Ukazuji tu jen fakt, že poměry odpovídajících stran jsou shodné. Pojďme tuto rovnici vyřešit. Nejdříve celou rovnici vynásobíme 'x'. Na levé straně nám vznikne 7/4 krát 'x' a na pravé 3/4 minus 'x'. K obou stranám můžeme přičíst 'x' a dostaneme... 7/4 'x' plus další 4/4 'x' nám dá 11/4 'x'. To je rovno třem čtvrtinám. Teď už se jen zbavíme jedenácti čtvrtin. Můžeme to udělat vynásobením rovnice převráceným zlomkem, čtyřmi jedenáctinami. Čtyřky se zkrátí a 'x' je tedy rovno třem jedenáctinám metru. Pokud trefíme východní hranu o tři jedenáctiny metru nad pravým spodním rohem, trefíme bílou koulí prostřední spodní díru.
video