Shodnost trojúhelníků
Přihlásit se
Shodnost trojúhelníků (1/14) · 11:29

Podobné trojúhelníky a věta sss Co to znamená, když se řekne, že dva trojúhelníky si jsou podobné? Jak s tím souvisí písmenka sss?

Navazuje na Podobnost trojúhelníků.
Budeme se věnovat shodnostitrojúhelníků. Shodnost si můžeme představit jako totožnost geometrických tvarů. Když je v algebře něco ekvivalentní k něčemu jinému, znamená to stejnou kvantitu. Ale teď najednou mluvíme o geometrických tvarech a říkáme, že geometrické tvary jsou shodné, pokud mají stejnou velikost a tvar, pak říkáme, že jsou shodné. Jednoduchý příklad: Mám tu trojúhelník a řekněme, že tenhle trojúhelník, pokud ho zvětšíme, otočíme nebo posuneme, může vypadadat přesně jako tento trojúhelník. Dokud nezměníme délku stran nebo úhel, můžeme ho otáčet, zvětšovat a posouvat. Takže ho můžeme zvětšit, napíšu to... Můžeme ho zvětšit, posunout nebo otočit. Pokud pomocí těchto tří operací získáme stejný trojúhelník, trojúhelníky jsou shodné. Když řeknu, že trojúhelníky jsou shodné... Napíšu to. Tento trojúhelník pojmenujeme ABC. A tenhle pojmenujeme D, ne, tenhle je XYZ. Řekněme, že oba trojúhelníky jsou shodné. Řekněme tedy, že trojúhelník ABC je shodný. A díky způsobu značení to vypadá skoro jako znak shodnosti, jen má tady nahoře ještě takovou kudrlinku. Napíšu to o něco lépe... Napsali bychom to tedy takhle. Víme tedy, že trojúhelník ABC je shodný s XYZ, což znamená, že jejich odpovídající strany mají stejnou délku a odpovídající úhly mají stejnou velikost. Když si tedy vezmeme tento předpoklad nebo nám někdo řekne, že to je pravda, pak například víme, že AB odpovídá XY. Délka strany AB je stejná jako délka strany XY. A takto bychom to mohli označit. Předpokládám tedy, že toto jsou odpovídající strany. A můžete to také vidět v tom, jak jsme definovali tyto trojúhelníky. Vrchol A odpovídá vrcholu X, vrchol B odpovídá vrcholu Y a C tady odpovídá vrcholu Z. Takže strana AB má stejnou délku jako strana XY. A někdy, když nemáte barvy, můžete to označit takto. Tyto dvě úsečky mají stejnou délku. A můžete to říct takto, protože to není vždy takto zapsané, můžete učinit prohlášení, že úsečka AB je shodná s úsečkou XY. Ale shodnost úseček znamená, že jejich délky jsou stejné. Takže tyto dvě věci znamenají to stejné. Když je jedna úsečka shodná s jinou úsečkou, znamená to, že délka jedné úsečky je stejná jako délka té druhé. A můžeme překontrolovat všechny odpovídající si strany, jestli tyto dva znaky si odpovídají. Také víme, že délka BC bude odpovídat délce YZ, za předpokladu, že to jsou odpovídající si strany. A můžeme sem tedy dát rovnítko na důkaz, že tyto dvě délky jsou stejné. A když se podíváme na třetí strany, víme, že i ty budou mít stejnou délku. neboli že samotné úsečky budou shodné. Také víme, že délka AC je stejná jako délka XZ. Teď víme nejen, že všechny odpovídající si strany budou stejně dlouhé, když nám někdo řekne, že trojúhelník je shodný, ale také víme, že všechny odpovídající si úhly budou stejně velké. Například víme, že velikost tohoto úhlu bude stejná jako velikost tohoto odpovídajícího úhlu. Odpovídající úhel je právě tady. Je mezi touto oranžovou a touto modrou stranou. Nebo mezi touto oranžovou a touto fialovou stranou, můžeme říct. A také nám říkají, že velikost úhlu BAC je stejná jako velikost úhlu YXZ. Můžete to také napsat tak, že úhel BAC odpovídá úhlu YXZ. A ještě jednou, jako u úseček, když jedna úsečka odpovídá druhé úsečce, znamená to, že jejich délky se sobě rovnají. Víme tedy, že když dva odpovídající si úhly mají stejnou velikost, jsou shodné. Také víme, že tyto dva odpovídající si úhly mají stejnou velikost, jsou si shodné, a já použiji dvojitý oblouk pro zdůraznění, že toto je stejná velikost jako toto. Také víme, že velikost úhlu ABC se rovná velikosti úhlu XYZ. A konečně víme, že tento úhel, když víme, že tyto dva trojúhelníky jsou shodné, pak tento úhel bude mít stejnou velikost jako tento úhel, protože je to odpovídající úhel. Takže víme, že velikost úhlu ACB se rovná velikosti úhlu XZY. Teď se budeme hodně zabývat tím, jak dokážeme shodnost? Protože je to super, když můžeme dokázat shodnost 2 trojúhelníků, potom můžeme uskutečnit všechny tyto domněnky. Jdeme zjistit, toto bude... Budeme předpokládat, v zájmu úvodního kurzu geometrie, že toto je axiom nebo postulát, zkrátka že to je nějaký předpoklad. Jen to zapíšu. Takže axiom, velmi krásné slovo. Postulát, také moc hezké slovo. Znamená to věci, u kterých předpokládáme, že jsou pravdivé. Někdy se jejich význam trochu liší, když někdo řekne, že axiom je něco, co je zřejmé, taková univerzální pravda, je to určitě pravda. A my to bereme jako samozřejmost. Nemůžeme dokázat axiom. Postulát má částečně stejnou roli, ale někdy můžete říct, dobře, budu předpokládat, že tohle je pravda a uvidím, pokud předpokládám, že to je pravda, co z toho můžu dál odvodit. Co můžeme dokázat, když budeme předpokládat, že je to pravda. Ale v zájmu úvodního geometrického kurzu a ve většině dnešní matematiky jsou tyto dva termíny zcela zaměnitelné. Axiom nebo postulát, obojí moc hezká slova pro věci, které máme pevně dané. Pro věci, které prostě přijmeme. Nemusíme je nijak dokazovat. Začneme s těmito předpoklady a budeme na nich stavět dál. A jeden z hlavních předpokladů, které máme v geometrii, je axiom nebo postulát, že když si odpovídají všechny strany, nebo když si odpovídají délky všech stran trojúhelníku, pak pracujeme se shodnými trojúhelníky. Někdy se to nazývá sss (strana-strana-strana) postulát nebo axiom. To nebudeme dokazovat, ale vezmeme to jako fakt. Takže tohle doslova znamená strana-strana-strana. A co nám to říká, když máme dva trojúhelníky... řekněme, že tohle je jeden a tohle druhý právě tady... a víme, že jejich odpovídající si strany jsou stejné. Takže víme, že tato strana tady má stejnou délku jako tato strana, a víme, že tato strana tady je stejně dlouhá jako tato strana, a víme, že tahle strana má stejnou délku jako tahle strana. Dále víme, a vezmeme to jako předpoklad, na kterém budeme dále stavět, víme, že jsou shodné, (že si odpovídají.) Víme, že tyto dva trojúhelníky jsou vůči sobě navzájem shodné. Nijak jsem si je neoznačil, takže je pro mě složité se na ně odkazovat. Ale tyto dva jsou shodné trojúhelníky. Je důležité, když víme, že všechny odpovídající si strany jsou shodné. Potom víme, že jsou shodné a můžeme učinit všechny další předpoklady, které značí, že odpovídající si úhly jsou rovněž shodné. Takže víme, že tohle je shodné s tímto, neboli že má stejnou velikost. Tohle má stejnou velikost jako tohle. A potom tohle má stejnou velikost jako tohle právě tady. Abychom viděli, proč je tohle rozumný postulát, na kterém můžeme dál stavět, začněme s jedním trojúhelníkem. Řekněme, že mám tady tento trojúhelník. Má tuto stranu, potom tuto stranu a potom má tuto stranu tady. A co udělám, je to, že se podívám, jestli mám nějaký další trojúhelník, který by měl úplně stejné délky stran, ale byl by jiný, nebylo by možné ho přenést do tohoto trojúhelníku ani obracením, ani přesouváním, ani otáčením. Takže předpokládáme, že tento další trojúhelník bude mít stranu stejně dlouhou jako je tato strana tady. Takže se pokusím to tak nakreslit. Zhruba ta stejná délka. Víme, že to bude mít stranu, která má tuto délku. Přidám sem ještě tuhle stranu, aby to bylo ještě zajímavější. Takže víme, že to bude mít takovouto stranu. Nakreslím ji zhruba stejně dlouhou, ale zkusím ji udělat s jiným úhlem. Teď víme, že to bude mít stranu, která vypadá nějak takto. A tak ji dám právě sem. Je to asi tahle délka právě tady. A očividně tohle není trojúhelník. Abychom z toho udělali trojúhelník, musel bych spojit tento bod a tento bod. A opravdu tu jsou jenom dva způsoby, jak to udělat. Můžu tím otáčet kolem tohoto pantu tady. Když je tady spojím, dostanu trojúhelník, který vypadá takhle, vlastně je jenom otočený... Znázorňuji to správně? Ano, jenom převrácená verze. Můžete tím otáčet trošku zpátky tímto směrem. Ale potom byste měli červenou na téhle straně a žlutou na téhle. Mohli jste to převrátit svisle a potom by to vypadalo přesně stejně jako tohle. Další možnost, jak spojit tyto dva body, je otočit je tímto směrem. A potom bude žlutá strana tady a červená bude právě tady. To není červená. Červená strana bude takto. A když to uděláme, pak s tím jen musíme otáčet, abychom dostali stejný trojúhelník. Tohle není důkaz, ale vlastně začneme předpokládat, že tohle je axiom. Ale snad vidíte, že je to docela rozumné východisko, že když všechny strany, všechny odpovídající si strany ze dvou různých trojúhelníků jsou stejné, pak víme, že trojúhelníky jsou shodné. Budeme předpokládat,že je to axiom, na kterém budeme dále stavět, axiom, že jsou shodné. A také víme, že všechny odpovídající si úhly budou stejné.
video