Shodnost trojúhelníků
Shodnost trojúhelníků (2/14) · 13:28

Další věty o shodnosti trojúhelníků Prozkoumávání vět sss, sus, usu a uus o shodnosti trojúhelníků. Důkaz toho, že sss je vhodná pouze podobnost a ssu není vhodná pro nic.

Navazuje na Podobnost trojúhelníků.
Už víme, že pokud máme dva trojúhelníky a všechny jejich odpovídající si strany jsou stejné, víme, že podle věty sss pokud všechny tři strany mají stejnou délku, víme, že tyto trojúhelníky jsou shodné. V tomto videu bych chtěl zjistit, zda existují ještě další vlastnosti trojúhelníků, které by nám pomohly zjistit, že tyto dva trojúhelníky jsou shodné. Věta sss funguje, ale co úhel-úhel-úhel? Pojďme to zkusit, uuu. Řekněme, že máme takový trojúhelník a máme takový trojúhelník. Pokud víme, že tento úhel je shodný s tímto úhlem, tento úhel je shodný s tímto úhlem, což znamená, že jejich velikosti jsou stejné, a tento úhel je shodný s tímto úhlem, můžeme říci, že tyto dva trojúhelníky jsou shodné? Na první pohled to vypadá tak, že by mohly být. Zejména podle toho, jak jsem to nakreslil. Když o tom popřemýšlíme, můžeme mít stejné odpovídající si úhly se stejnými velikostmi a tedy shodné, ale když jeden z trojúhelníků zvětšíme nebo zmenšíme, úhly se nezmění. Například pokud máme takový trojúhelník, který vypadá podobně, myslím to obecně, má stejný tvar jako tyto trojúhelníky a má stejně velké úhly. Tento úhel je shodný s tímto úhlem, tento úhel dole je shodný s tímto úhlem, a tento úhel tady je shodný s tímto úhlem. Všechny úhly v těchto třech trojúhelnících jsou stejné. Všechny odpovídající si úhly mají stejnou velikost. Ale vidíme, že tento trojúhelník není stejný. Není shodný s těmito dvěma. Jeho strany mají rozdílnou délku. Tato strana je mnohem kratší než tato strana, tato strana je mnohem kratší než tato, a tato strana je mnohem kratší než tato. Takže podle věty uuu nemůžeme říci, že trojúhelník má stejný tvar a velikost. Tento má stejný tvar, ale nemá stejnou velikost. V tomto případě se nejdná o shodu. Věta uuu neurčuje shodu. Co nám ale tato věta naznačuje a nemluvili jsme ještě o tom, je, že tyto trojúhelníky jsou podobné. Takže věta uuu značí podobnost. Sepišme si to, jedná se o podobné trojúhelníky. Pravděpodobně se s tímto slovem potkáváte každodenně, podobnost má ale v geometrii speciální význam. Když je něco podobného, ​​má stejný tvar, ale nemusí mít stejnou velikost. Takže vše, co je shodné, je také podobné, protože má stejnou velikost i tvar. Ale to, co je podobné, nemusí být vždy i shodné. Například tento trojúhelník je podobný, všechny tyto trojúhelníky jsou si podobné, ale ne všechny jsou shodné. Tyto dva jsou shodné, pokud jejich strany jsou stejné. Nevycházím z toho předpokladu, pokud víme, že strany jsou stejné, pak můžeme říci, že jsou shodné. Ale žádný z těchto trojúhelníků není shodný s tímto trojúhelníkem, protože je mnohem větší. Má stejný tvar, ale jinou velikost. Takže věta uuu nezaručuje shodnost. A co tak strana-úhel-strana? Pojďme to zkusit. sus. Začněme s takovým trojúhelníkem. Bude vypadat takto. Má jednu stranu modrou, druhou růžovou a třetí fialovou. A řekněme, že máme druhý trojúhelník, který má tuto stranu modrou, má stejnou délku jako tato modrá strana. Nakreslil ji takto. Je stejně dlouhá jako tato modrá strana. Tato délka a tato délka jsou stejné. Budou mít i shodný úhel. Tento úhel a tento úhel ve druhém trojúhelníku budou mít stejnou velikost, budou tedy shodné. Další strana bude mít stejnou délku jako tato strana. Takže tato délka bude stejná jako tato. Bude stejně dlouhá. Víme, že dvě odpovídající si strany mají stejnou délku a jeden úhel, úhel mezi těmi dvěma odpovídajícími si stranami je také shodný. S tou třetí stranou si můžeme udělat, co chceme. Začínat bude v tomto bodě, začneme od tohoto bodu a můžeme ji otáčet, kterým směrem chceme, vidíme, že jediný způsob jak sestrojit trojúhelník je, pokud tu stranu dáme sem, a uzavřeme to tady takto. Vidíte, že pokud máme dva trojúhelníky, které mají jednu stranu stejně dlouhou, druhou stranu stejně dlouhou a úhel mezi nimi, tento úhel, označím jej stejnou barvou, tento úhel mezi nimi, toto A (angl. angle) značí tento úhel, je úhel mezi dvěma stranami. První strana je modrá a druhá strana tato zde je růžová. Ta je již růžovou označena. Takže vidíme, že pokud dvě strany mají stejnou délku, dvě odpovídající si strany mají stejnou délku, a odpovídající si úhly mezi nimi jsou stejné, musí být i trojúhelníky shodné. Tu třetí stranu totiž nemáme kam jinam dát. Takže věta sus... Tato věta nám zaručuje, že dva trojúhelníky jsou shodné. Takže si označme další větu, původně jsme měli větu sss, nyní máme i větu sus. Když máme v trojúhelníku dvě strany shodné a úhel mezi nimi také shodný, myslím odpovídající si strany a úhly, můžeme říci, že tyto trojúhelníky jsou určitě shodné. Pojďme na jinou kombinaci. Co kdybych měl úhel-stranu-úhel? Zkusme to. Co se stane, pokud máme usu? Vraťme se k tomuto. Překreslím ho, abychom měli nový trojúhelník na každý příklad. Takže usu, nakreslíme sem trojúhelník. Mám takový trojúhelník, toto bude naše strana. Nejdříve si ale nakreslím celý trojúhelník. Zde si nakreslíme jednu stranu, tady je druhá strana, a toto je náš úhel, nakreslím ho oranžovou, a tento úhel označím žlutou. Takže pokud máme další trojúhelník, který má jednu stejně dlouhou stranu, tuto modrou stranu, která má stejnou délku, a dva úhly na obou koncích této strany jsou také stejné, bude tento trojúhelník shodný? Jdeme to zjistit. Toto nejsou oficiální důkazy. Snažíme se jen přijít na odůvodnění nebo odůvodněné předpoklady, které můžeme použít, když chceme dokázat určité věci. Takže tento úhel, to bude tento úhel v naší větě, bude mít stejnou velikost jako v prvním trojúhelníku. A tento žlutý úhel bude mít v tomto trojúhelníku stejnou velikost, jako má v tom prvním. Délky těchto dvou stran neznáme a tudíž je nemůžeme určit. Takže tato strana může mít libovolnou délku, ale musí vytvořit tento úhel. Takže může mít libovolnou délku, může jít až takto daleko, a my ji nebudeme určovat. Označme si, že tato strana a tato jsou stejné. Tato strana může být jakákoliv, vůbec jsme její délku neurčovaly. I tato strana může být libovolně dlouhá, neurčili jsme ji, víme, že musí jít pod tímto úhlem. Musí jít pod tímto úhlem. Takovýmto způsobem nám může vzniknout jen jeden trojúhelník. Znovu zopakuji, délka této strany může být jakákoli, dlouhá nebo kratší, a tato může být také libovolně dlouhá, ale jediný případ, kdy se tyto dvě strany dotknou a vytvoří trojúhelník a budou mít takové dva úhly, je, když budou mít stejnou délku jako tyto dvě strany v prvním trojúhelníku. Takže tato strana má vlastně stejnou délku jako tato strana a tato bude stejná jako tato strana. Znovu opakuji, toto není důkaz, spíše bych to nazval jako zdůvodnění nebo zkoumání, jen abychom zjistili, jaké věty nebo předpoklady můžeme mít. Zjistili jsme, že věta usu nám ukazuje, že dva trojúhelníky jsou shodné. Pojďme zkusit další, zkusme úhel-úhel-strana. uus. Na hodinách geometrie, když budete mít například test, můžete se to naučit nazpaměť. sss naznačuje shodnost, to je logické. sus naznačuje shodnost, a tak dále. Nejsem fanoušek učení nazpaměť, ale když máte omezený čas, je dobré to vědět, ale někdy je dobře jít na to logicky a přemýšlet: "Funguje věta uuu?" Ne. Znám případ, kdy to neplatí. A fungují tyto? Jen si to sami ověřte, jestli dávají logiku a naznačují shodnost. Pojďme tedy zkusit uus. Takže znovu, řekněme, že máme trojúhelník. Máme nějakou stranu, tento případ bude zajímavý. Máme nějakou stranu, toto je naše strana. Pak máme dva úhly, ale pojďme si nakreslit celý trojúhelník. Jednu nakreslím fialovou a druhou zelenou. V naší větě máme dva úhly a potom stranu. Takže tu máme jeden úhel. Označíme si ho jedním obloučkem, protože je první, takže tu máme první úhel, toto první u v naší větě. Pak máme tento úhel, který představuje to druhé u. Pak tu máme další trojúhelník, který má jednu stranu stejně dlouhou jako ten první trojúhelník. Nakreslím to, jedna strana ma stejnou délku. Má jeden úhel se stejnou velikostí zde na této straně, takže má takovou velikost, tato strana může mít libovolnou délku. Tato strana může být jakkoliv dlouhá, nemáme její délku určenou, ale na této druhé straně bude úhel, který bude stejně velký jako tento zelený úhel v prvním trojúhelníku. Takže by to mohlo být například takto, a pak tu máme zelenou stranu, nebo by to mohlo být takto, a zelená strana půjde takto. Jediná věc, kterou předpokládáme, je, že tato strana má stejnou délku jako tato, tento úhel má stejnou velikost jako tento úhel a že tento úhel je stejný jako tento úhel. Tato fialová strana může být jakékoliv délky a tato zelená strana také může mít libovolnou délku, to nemáme určeno. Můžeme tedy sestrojit trojúhelník, který nebude shodný s tímto trojúhelníkem? Tato spodní strana, zelená strana, se musí spojit s touto stranou a jediný způsob, jak je spojit, je, pokud začne zde. Začne zde v tomto místě, protože musíme sestrojit takový úhel, přesně takový úhel. Vypadá to tak, že věta uus dokazuje shodnost. Takže tato věta dokazuje shodnost. Pojďme udělat ještě jednu kombinaci, jen abychom si vyzkoušeli různé situace. Už mi dochází prostor na psaní. Co kdybychom zkusili strana-strana-úhel? Znovu si nakreslíme trojúhelník. Zde má jednu stranu, tu má druhou stranu, ještě nebudu dělat to přeškrtnutí, takže jedna strana, druhá strana a poslední strana. Pak tu máme druhý trojúhelník, který má dvě strany a pak jeden úhel stejný jako první trojúhelník. Například máme takovou stranu, takto ji nakreslím, pak následuje další strana, ale nemáme určeno v jakém úhlu. Nemáme určenou velikost tohoto úhlu. No máme určenou délku této strany. Pojďme si to barevně označit. Modrá strana je tato první strana, pak máme tuto fialovou stranu, bude mít stejnou délku jako tato strana. Udělejme to v jiném úhlu, abychom viděli, jestli tu větu můžu vyvrátit. Řekněme, že to vypadá takto. Nebo to udělejme ještě zajímavější a udělejme to, udělejme to takto. Je to úplně odlišný úhel, ale na tomto místě musíme mít přesně stejný úhel. Musí mít stejný úhel, takže ta velikost musí být stejná. Vypadá to tak, že můžeme nakreslit trojúhelník, který není shodný a přitom má dvě stejně dlouhé strany a úhel, který je odlišný. Například tento úhel jsem udělal mnohem menší než je tento úhel. Tyto dvě strany jsou stejné. Tento úhel je stejný, ale výsledek je takový, že tato zelená strana musí být v tomto trojúhelníku kratší. Takže věta ssu nám nezaručuje, že trojúhelníky jsou shodné. Nemusí být shodné. Nebo podobné. Nezaručuje nám ani shodnost ani podobnost.
video