Shodnost trojúhelníků
Shodnost trojúhelníků (5/14) · 9:03

Shodná ramena a úhly při základně v rovnoramenném trojúhelníku Důkaz toho, že pokud nakreslíme výšku na základnu rovnoramenného trojúhelníku, rozdělíme tak tento trojúhelník na dva jiné shodné trojúhelníky.

Navazuje na Podobnost trojúhelníků.
Začínáme s trojúhelníkem ABC. Když se na něj podíváme, vidíme, že délka úsečky AB se rovná délce úsečky AC. Jinak řečeno, úsečka AB je shodná s úsečkou AC. Tento trojúhelník má dvě shodné strany, tedy mají stejnou délku. Takový trojúhelník voláme rovnoramenný (angl. isosceles triangle). To znamená, že má dvě ramena (strany) stejné délky. V tomto videu bych chtěl dokázat, chtěl bych dokázat, že tyto dva úhly, někdy jim říkáme úhly při základně. Jeden úhel je mezi jedním ramenem a zbylou stranou, která nemusí být shodná, a druhý úhel svírá rameno, s toutéž stranou. Chci dokázat, že tyto úhly jsou shodné. Chci dokázat, že úhel ABC, ABC, je shodný s úhlem ACB, úhlem ACB. V rovnoramenném trojúhelníku se tyto dva úhly pojmenovávají jako úhly při základně. Tento úhel bychom mohli nazvat jako vrcholový úhel Tyto strany se nazývají ramena rovnoramenného trojúhelníku a tato strana, která nemusí být shodná s rameny, se nazývá základna. Podívejme se, jestli to umíme dokázat. Nevíme toho hodně. Víme jen, že tyto dvě strany jsou shodné, ale víme toho dost o shodnosti trojúhelníků, takže bychom si nejdříve mohli sestrojit dva trojúhelníky, díky čemuž bychom mohli zjistit, zda tento úhel je shodný s tímto úhlem. K tomu, abychom mohli použít věty o shodnosti trojúhelníků, si potřebujeme nakreslit dva trojúhelníky. Abychom sestrojili dva trojúhelníky, tak si sem dáme další bod, bod D. Řekněme, že bod D je ve středu přímky BC, čili vzdálenost BD bude stejná jako vzdálenost DC. Sem dáme dvě čárky, aby bylo jasné, že to není tato vzdálenost, takže tato vzdálenost BD je stejná jako vzdálenost DC. Mezi jakýmikoli dvěma body bychom uměli najít takový střed. Nakreslete si tedy úsečku AD, úsečku AD. Sestrojili jsme vlastně dva trojúhelníky. Trojúhelník ABD a trojúhelník ACD, v nichž tyto dvě strany jsou shodné, tyto dvě jsou shodné a tuto stranu mají společnou. Tuto stranu mají společnou. Takže víme, že trojúhelník ABD, je shodný s trojúhelníkem ACD. Víme to díky větě sss. Strana, strana, strana. Pokud máme dva trojúhelníky, ve kterých jsou všechny strany shodné, čili mají shodnou délku, pak jsou trojúhelníky shodné. Tato informace je užitečná, protože pokud jsou strany shodné, pak i jejich úhly jsou shodné. Čili jsme dokázali, co jsme dokázat chtěli. Protože úhlu ABC v tomto trojúhelníku odpovídá úhel ACD v tomto trojúhelníku. Takže víme, že úhel ABC je shodný s úhlem ACB. Pokud máme rovnoramenný trojúhelník, v němž dvě ramena jsou shodná, pak úhly při základně budou také shodné. Teď se na to podívejme jinak. Mohli bychom říci, že pokud jsou úhly při základně shodné, potom i ramena jsou shodná? Sestrojme si další trojúhelník a zkusme si to dokázat naopak. Nakreslím další trojúhelník, vypadá nějak takto, to není hezký trojúhelník, nakreslím hezčí, a napíšu body jinou barvou. Tento bod nazveme A, tento bude B a toto bude bod C. A předpokládáme, že tento úhel, úhel ABC, je shodný s úhlem ACB. Mají stejnou velikost. Nyní chceme dokázat... nakreslím tu takovou čáru, abych to od sebe oddělil. Zde říkáme, že pokud dvě strany jsou shodné, pak i úhly při základně jsou shodné. To jsme dokázali. Nyní na to podíváme opačně. Pokud jsou dva úhly při základně shodné, jsou i dvě ramena shodná? Takže chceme dokázat, že úsečka AC je shodná s úsečkou AB. Nebo můžeme říci, že délka strany AC se rovná délce strany AB. Zapsali jsme totéž dvěma různými způsoby. Podívejme se na to. Víme, jaké jsou podmínky pro to, aby bylo něco shodné s něčím - potřebujeme k tomu dva trojúhelníky. Sestrojme zde tedy dva trojúhelníky. A nyní místo toho, abychom si určili střed, si určíme bod D, který leží přímo pod bodem A. Když už o tom mluvíme, existuje takzvaná výška, což je vlastně úsečka, která protíná úsečku BC v pravém úhlu. Vždy existuje taková úsečka a bod, kde ta úsečka protíná protější úsečku. Takže pokud tu máme 90 stupňový úhel, pak i zde je 90 stupňový úhel. Zajímavé na tom je to, sepišme si to, sestrojil jsem úsečku AD tak, že AD je kolmá k BC. Výšku trojúhelníku si můžeme sestrojit kdykoliv. Je to vlastně kolmice na tuto úsečku BC z vrcholu A, přičemž dostaneme bod D. V trojúhelníku to takto můžete udělat vždy. Takže na co jsme přišli? Máme tu úhel, úhel a stranu, která je společná pro oba trojúhelníky, a tady máme úhel, který odpovídá tomuto úhlu, další úhel, který odpovídá tomuto, a tuto společnou stranu. Takže tyto dva trojúhelníky jsou shodné podle věty uus - úhel, úhel, strana, což je jedna z platných vět o shodnosti trojúhelníků. Takže můžeme říci, že trojúhelník ABD je shodný s trojúhelníkem ACD. Víme to díky větě uus (angl. AAS). Tento úhel, tento úhel a tato strana a tento úhel, tento úhel a tato strana. Teď, když už víme, že tyto trojúhelníky jsou shodné, víme i že všechny odpovídající strany a úhly trojúhelníků jsou shodné. Tím pádem víme, že AB odpovídá strana AC, takže tyto dvě strany jsou také shodné. AB je shodná s AC, protože to jsou shodné trojúhelníky. Tímto jsme dokázali, co jsme dokázat chtěli. Pokud jsou dva úhly při základně shodné, pak i dvě ramena jsou shodná. Pokud jsou ramena shodná, pak i úhly při základně jsou shodné. V geometrii to je velmi nápomocná informace. Pokud vás zaujal tento rovnoramenný trojúhelník, v tomto případě jsme si určili střed D, zde jsme si sestrojili výšku trojúhelníku s průsečíkem D. Neřekli jsme, že to je středový bod, ale můžeme dokázat, že to je střed, protože neboť tyto dva trojúhelníky jsou shodné. BD je shodná s DC, protože to jsou odpovídající strany. Takže se ukázalo, že bod D v rovnoramenném trojúhelníku není jen střed, ale je to také bod, ve kterém protne kolmice AD ​​z bodu A úsečku BC. Takže AD nejen že je kolmá k BC, ale také ji dělí na dvě stejné části a bod D je střed základny.
video