Shodnost trojúhelníků
Přihlásit se
Shodnost trojúhelníků (11/14) · 11:06

Dvousloupcový důkaz toho, že jsou dvě úsečky kolmé Pomocí dvou sloupečků (důkaz, důvod) si postupně odvodíme, proč musí být úhlopříčky ve čtyřúhelníku ve tvaru draka na sebe kolmé.

Navazuje na Podobnost trojúhelníků.
V tomto videu bych chtěl dokázat, že úsečka AC je kolmá na úsečku DB, pomocí informací, které máme dané v tomto obrázku. Tato strana má stejnou délku jako tato strana. Prozradím vám, že použijeme jednu nebo více vět o shodnosti trojúhelníků, odteď jim budu říkat 'věty'. Takže to, co víme, nakresleme si sem čáru, zde budou naše pomůcky, máme větu strana-strana-strana, kdy jsou tři strany shodné, a i trojúhelníky jsou shodné, máme větu strana-úhel-strana, dvě strany a mezi nimi úhel jsou shodné, pak i trojúhelníky jsou shodné, máme usu, dva úhly a strana mezi nimi, a nakonec máme uus, dva úhly a pak strana. Takže všechny tyto věty naznačují, že trojúhelníky jsou shodné. Jdu nakreslit dvousloupcový důkaz. Nemusíme ho dělat, ale setkáváme se s ním a na hodinách geometrie ho vyžadují. Je to velmi jednoduché. Napíšete nějaké tvrzení, a odůvodnění pro toto tvrzení. Dělali jsme to vlastně při každém důkazu, ale nebylo to příliš strukturované. Uděláme to takhle. Máme dva sloupce, máme tvrzení a máme k nim odůvodnění. Odůvodnění pro tvrzení. Jak to budeme dělat, zkusíme, jestli můžeme dokázat, že trojúhelník CDA je shodný s trojúhelníkem CBA podle věty sss. Na začátek je to dobré, protože když už dokážeme shodnost, úhly budou také stejné. A jde to proto, že tato strana je shodná s touto, tato s touto a tuto stranu mají společnou. Ale neuděláme to jen takto ústně, ale pěkně si to všechno vypíšeme sem. Máme CD, délka úsečky CD se rovná délce úsečky CB, CD se rovná CB, to bylo zadáno, tyto dvě úsečky jsou stejné. Také víme, že DA, délka úsečky DA, je stejná jako délka úsečky BA, takže DA se rovná BA. To je také zadáno. A také víme, že CA se rovná CA, takže CA se rovná sobě samé, je to logické z obrázku. Bylo to také zadané, nebo tedy je to logické z obrázku. Je to jasné, protože oba trojúhelníky mají stranu společnou. Máme tedy dva trojúhelníky, jejichž strany, které si odpovídají, mají stejnou délku a tedy víme, že jsou shodné. Víme, že trojúhelník CDA je shodný s trojúhelníkem CBA. Víme to podle věty sss a těch tvrzení nahoře. Pojďme si je očíslovat, abychom se na ně mohli snadněji odvolávat. Toto je 1... 2...3 a 4. Takže věta sss a 1., 2. a 3. tvrzení. Takže 1., 2. a 3. tvrzení a věta sss nám pomohli zjistit, že jsou tyto dva trojúhelníky shodné. Pokud jsou tyto dva shodné, pak víme, že všechny úhly, které si odpovídají, jsou shodné. Takže například tento úhel bude shodný s tímto úhlem. Sepišme si toto tvrzení; víme, že úhel DCE, to je 5. tvrzení. Úhel DCE, to je tento úhel, má stejnou velikost, můžeme říci, že bude shodný. Velikost úhlu DCE se totiž rovná velikosti úhlu BCE, a víme to ze 4. tvrzení, ze shodnosti. Dáme to do závorky, ze shodnosti těchto trojúhelníků. V obou těchto trojúhelnících jsou odpovídající si úhly, které mají úplně stejnou velikost. Nyní se podívejme na tyto dva menší trojúhelníky, tento vrchní levý a vrchní pravý, protože jejich dvě odpovídající si strany jsou shodné, dva odpovídající si úhly jsou shodné a mají společnou stranu. Tuto stranu mají společnou. Nejdříve si zapišme, že tuto stranu mají společnou. Takže 6. tvrzení: CE, její délka je rovna sobě samé. Vyplývá to z obrázku. Je to tatáž úsečka. Je to jasné z obrázku. Nyní můžeme tuto informaci použít. Nemáme tři shodné strany, nedokázali jsme, že tato strana je stejná jako tato, že DE měří stejně jako EB, ale máme stranu, úhel mezi stranami, a další stranu. Je to věta sus. Můžeme říci, že podle věty sus je trojúhelník DCE shodný s trojúhelníkem BCE. Když píšeme název trojúhelníku, je třeba se ujistit, že píšeme odpovídající si vrcholy za sebou, začal jsem s bodem D, pak C a E, takže odpovídajícím vrcholem k D je B, takže začneme s B. Uprostřed je C, které je společným bodem obou trojúhelníků, a poté E. Hlavně abychom věděli, který vrchol odpovídá kterému. Víme to z věty sus a z informací, které jsme získali z 1. tvrzení: tyto dvě strany jsou shodné. Z tvrzení 5, že tyto dva úhly jsou shodné, a z tvrzení 6 o této straně. Pokud víme, že tyto dva trojúhelníky jsou shodné, znamená to, že odpovídající si úhly jsou shodné. Například víme, že tento úhel je shodný s tímto úhlem. Sepišme si to. Tvrzení 8: velikost úhlu DEC se rovná velikosti úhlu BEC. Víme to ze 7. tvrzení, jsou shodné. Také víme, díky 9. tvrzení, že velikost úhlu DEC, nebo to sepišme takto. Úhel DEC a úhel BEC jsou doplňkové úhly, jsou doplňkové, napíšu to, jsou doplňkové, což znamená, že jejich velikosti dají dohromady 180 stupňů. Víme to díky tomu, že jsou vedlejší, a vnější ramena úhlu tvoří přímý úhel. Tvoří přímý úhel. Můžeme přejít na další bod. Pokud víme, že tyto úhly se rovnají, a pokud víme, že jsou doplňkové, pak musí mít 90 stupňů. Takže za desáté, velikost úhlu DEC se rovná velikosti úhlu BEC, což se rovná 90 stupňů. Je na to víc důvodů, můžeme si říct tyto dva. Tvrzení 8 a 9 znamenají že úhel DEC, napíšu to, velikost úhlu DEC plus velikost úhlu, vlastně nekomplikujme to, pojďme na to postupně. Udělejme to takto: velikost úhlu DEC plus velikost úhlu BEC se rovná 180, protože z bodu 9 víme, že jsou doplňkové. Pak můžeme říci, zabral jsem hodně prostoru, v 11. tvrzení, že velikost úhlu DEC plus velikost úhlu DEC je rovna 180 stupňům, víme to z 9. tvrzení, a z 8. tvrzení. Vlastně jsme vzali tvrzení 9 a nahradili jsme velikost úhlu BEC za velikost úhlu DEC, protože jsou stejné. Tvrzení 12: velikost úhlu DEC se rovná 90, což se rovná i úhlu BEC. Víme to přímo z 11. tvrzení a také z 8. Jak vidíte, trvalo déle vypsat podrobněji tyto kroky, a některé další důkazy ještě poukazují na další věci, ale my už máme hotovo. Pokud tyto dva úhly mají 90 stupňů, sepišme si poslední tvrzení, tvrzení 13. Chtěli jsme dokázat, že AC je kolmá na DB, AC je kolmá na DB, víme to z 12. tvrzení. Jsme hotovi. Udělali jsme dvousloupcový důkaz a dokázali jsme, že tato úsečka je kolmá na tuto úsečku, pomocí věty sss a věty sus.
video