Shodnost trojúhelníků
Přihlásit se
Shodnost trojúhelníků (12/14) · 5:46

Důkaz udělaný s pomocí shodnosti trojúhelníků Další ze série důkazů, chceme dokázat, že střed jedné úsečky je za určitých podmínek zároveň středem jiné.

Navazuje na Podobnost trojúhelníků.
Máme dvě rovnoběžky. Úsečka AB a úsečka CD jsou rovnoběžné, tedy jsou to rovnoběžné úsečky. Dále máme takové příčky, které jdou křížem přes sebe. Máme takovou příčku BC a příčku AD. Na tomto obrázku můžeme vidět, že vzdálenost mezi body A a E, tento křížek nám naznačuje, že tato úsečka má stejnou délku jako je vzdálenost mezi body E a D. Jinými slovy, bod E je středový bod úsečky AD. V tomto videu chceme zjistit odpověď na otázku: Je bod E i středovým bodem úsečky BC? Toto je naše úloha. Je bod E středovým bodem úsečky BC? Tak jako v předchozích videích, i v tomto videu to bude mít něco společného se shodností trojúhelníků. Pojďme se podívat, zda můžeme vytvořit nějaký vztah shody mezi těmito dvěma trojúhelníky na obrázku. Na levo máme jeden trojúhelník, a tady máme druhý. Tento jakoby ukazuje nahoru, tento ukazuje směrem dolů. Už něco víme o vrcholových úhlech a úhlech příček. Je patrné, že tento vrcholový úhel, úhel AEB bude shodný, tedy jeho velikost bude stejná jako velikost úhlu CED. Takže víme, že úhel AEB je shodný, AEB je shodný s úhlem DEC, což znamená, že mají úplně stejnou velikost. Víme to proto, protože to jsou vrcholové úhly, jsou to vrcholové úhly. Také víme, že AB a CD jsou rovnoběžné, a tato úsečka je příčná, takže víme například to… Je několik způsobů jak takový příklad vyřešit. Takže víme, že toto je příčka. Teď se na to můžeme podívat několika způsoby. Pojďme tu příčku prodloužit, abychom viděli i ostatní úhly. Můžeme říci, že úhel ABE, toto je jeho velikost, je střídavým vnitřním úhlem k úhlu ECD, k tomuto úhlu. Pokud vás tohle nenapadlo hned, tak jemu odpovídající úhel, tomuto úhlu tady, je tento úhel nahoře. Pokud tuto stranu kus prodloužíme, toto je odpovídající úhel a toto je vrcholový úhel. Takže úhel AEB, pojďme si to napsat, pardon úhel ABE, takže úhel ABE je shodný s úhlem, tento úhel ABE, je shodný s úhlem DCE, je shodný s úhlem DCE. Jelikož se jedná o střídavé vnitřní úhly, napíšu alespoň zkráceně, střídavé vnitřní úhly. Vznikl nám tu zajímavý vztah, máme úhel shodný s jiným úhlem, další úhel shodný s úhlem, a pak jedna strana je shodná s druhou stranou. Takže růžový úhel, zelený úhel a strana. Můžeme použít větu uus (angl. AAS). Úhel, úhel, strana. Přesně podle pořadí. Nyní, když už známe tyto trojúhelníky, musíme označit ve správném pořadí strany, a odpovídající si vrcholy. Řekněme, že trojúhelník AEB… Nebo začněme od úhlu, aby to bylo zajímavější. Úhel BEA. Začněme od fialového úhlu, pak přejdeme k zelenému úhlu až skončíme u neoznačeného úhlu. Takže úhel BEA je shodný s úhlem, začneme při vrcholu C, kde je fialový úhel, přejdeme ke vrcholovému bodu E a nakonec ke neoznačený úhlu, při bodu D. Děláme to podle věty úhel-úhel-strana, kde si navzájem odpovídají fialový, zelený úhel a strana, fialový, zelený úhel a strana jsou shodné. Toto je věta uus, a pokud víme, že jsou totožné, čili odpovídající si strany jsou shodné, pak víme, že tato strana, pokud jsou tyto dva trojúhelníky shodné, což znamená, že jejich odpovídající si strany jsou shodné, pak víme, že délka strany BE, délka úsečky BE, která je mezi fialovým a zeleným úhlem, jehož odpovídající stranou je CE, která je také mezi fialovým a zeleným úhlem, je shodná s touto stranou CE. Vyplývá to z předchozího tvrzení, pokud je očíslujeme, toto je první, toto je druhé a toto je třetí. Přišli jsme na to díky třetímu tvrzení. Dokázali jsme, že E je středový bod úsečky BC. Přišli jsme na to díky faktu, že BE se rovná straně CE. Můžeme je označit křížkem. Tato úsečka je shodná s touto úsečkou. Protože víme, že tyto dva trojúhelníky jsou shodné. Neúmyslně jsem vytvořil dvousloupcový důkaz, ve kterém na levé straně jsou má tvrzení a na pravé straně jsem napsal odůvodnění. Jsme hotovi.
video