Shodnost trojúhelníků
Přihlásit se
Shodnost trojúhelníků (13/14) · 12:14

Stejná délka úseček pomocí shodnosti trojúhelníků Pomocí postupného nalézání shodných trojúhelníků v zadaném obrazci si dokážeme, že dvě dané úsečky jsou stejně dlouhé.

Navazuje na Podobnost trojúhelníků.
Podle tohoto obrázku v zadání víme, že délka úsečky AB se rovná délce AC. AB, je celá tato strana zde. Délka celé této strany se rovná délce celé této strany tady. To je tedy celá strana. A pak také víme, že úhel ABF, ABF se rovná úhlu ACE. Nebo jak vidíte, jejich velikosti jsou stejné neboli oba úhly jsou shodné. Je rovný úhlu ACE, tedy tento úhel je shodný s tímto úhlem. Nebo bychom mohli říci, že mají stejnou velikost. První věc, kterou se chci pokusit dokázat v tomto videu je, zda BF má stejnou délku jako CE. Má BF stejnou délku jako CE? Takže zkusme to. Známe několik věcí, můžeme je zapsat do dvou sloupců. Udělám to tak, abyste viděli, jak to formálně zapsat, kdybyste někdy dělali dvousloupcový důkaz ve škole. Pojďme otestovat naše tvrzení. Tvrzení. Tady budu psát své zdůvodnění těch tvrzení. Takže přepíšu zadání na formální dvousloupcový důkaz. Takže víme, že AB je rovno AC. To je tvrzení 1 a je to zadáno. Známe také tvrzení 2. Úhel ABF se rovná úhlu ACE. Opět to bylo zadáno. Další zajímavá věc je, že máme úhel a stranu každého z těchto trojúhelníků. A to, co vidíte, jsou pak oba dva trojúhelníky, a když říkám oba trojúhelníky, mluvím o trojúhelníku ABF a o trojúhelníku ACE. A oba sdílejí tento vrchol A a bod A je vrchol pro oba z nich. Takže mohli bychom říci, úhel A, BA, nazvěme to úhlem BAF. Můžeme říct, že se rovná úhlu BAF, nebo bychom mohli říci, že je roven úhlu CAE. To nám objasňuje, že máme co do činění se dvěma různými trojúhelníky. Je to opravdu ten stejný úhel. Je shodný sám se sebou, to je náš třetí údaj. Je to naprosto zřejmé. Někdo to může nazývat reflexivní vlastností. Je zřejmé, že úhel je rovný sám sobě. A tak bychom mohli říci, že je to zřejmé, nebo bychom to mohli nazvat reflexivní vlastností, že úhel je jednoznačně reflexivní, rovnající se sám sobě, i když je označený jinak. Tento úhel má stále stejnou velikost. A teď tu máme něco zajímavého, máme úhel, stranu a úhel. Úhel, stranu, úhel. Takže nakonec máme trojúhelník podle věty úhel-strana-úhel. Máme trojúhelník BAF. Tvrzení číslo 4. Tady je volné místo, napíšu to tady dolů. Trojúhelník BAF. Zvýrazním to trochu tou modrou. BAF, to je celý tento trojúhelník. A polovina řešení některých příkladů je v nalezení správného trojúhelníku. Začali jsme bílým úhlem, šli jsme přes stranu, kterou známe, až do tohoto oranžového úhlu. BBA, promiňte… Začali jsme na tomto úhlu, pak jdeme k tomuto oranžovém úhlu proti straně E, která je shodná se stranou zde. A pak jsme šli na tuto stranu, úhel na vrcholu není označen. Takže trojúhelník BAF. Víme, že je shodný, shodný s trojúhelníkem… Začali jsme bílým úhlem, šli na oranžový úhel a pak do neoznačeného úhlu. Bude shodný s úhlem, s trojúhelníkem CAF. Je to trochu nepořádně nakreslená verze, ale můžeme získat představu. Tyto dva trojúhelníky jsou shodné. CA pardon, CAE bych měl říci, je shodný s trojúhelníkem CAE. Bílý úhel, oranžový úhel a pak neoznačený úhel trojúhelníku právě tady. A toto je přímo z věty úhel-strana-úhel. Toto dostaneme přímo z USU (anglicky ASA), to jsou ty dva úhly a ta strana je mezi nimi. Takže to vychází z tvrzení 1, 2 a 3. Jsou shodné, tedy víme, že příslušné strany jsou také shodné, takže známe další tvrzení 5. Měl bych to napsat trochu úhledněji. Tvrzení 5. Víme, že BF je rovno CE. BF se rovná CE. A to víme přímo z tvrzení 4, nebo bychom mohli říci, že odpovídající strany… Odpovídající strany jsou shodné. Pojďme čelit větší výzvě. Podívejme se, zda se nám podaří dokázat, že ED se rovná EF. Pojďme pokračovat a uvidíme, jestli se nám podaří dokázat, že ED se rovná EF. Dal jsem tamhle otazník, protože je nutné to prokázat. Takže dokáži, že tato krátká úsečka EF je rovna DF. Omlouvám se, ne EF, ale DF. ED se rovná DF. Tak uvidíme, jestli se nám podaří to prokázat. Zajímavé je, že na první pohled nemusí být tak zřejmé, jak najít nějaký druh shody pro tento příklad. My už nějaké informace máme. Víme, že BAF je shodný s CAE. Také víme, že tato strana přímo tady, nakreslím to barvou, kterou jsem dosud nepoužil. Už jsem použil hodně barev z mé palety. Je toho už trochu moc. Takže z těchto dvou shodných trojúhelníků víme, že strana AE, strana AE, která je součástí CAE. Víme, že AE se rovná AF. Tyto dvě strany jsou shodné, protože jsou odpovídajícími stranami shodných trojúhelníků. AF je strana protilehlá bílému úhlu trojúhelníku BAF. AE je strana protilehlá bílému úhlu trojúhelníku CAE, a ty jsou shodné. Takže víme, že AE je rovna AF. Víme to z tvrzení 4, můžeme napsat, příslušné strany jsou shodné. Ze stejného důvodu jako tady. Zajímavé je, že toto, co vidíme zde, vlastně není trojúhelník. Tato informace, že tyto dva úseky jsou shodné nám pomůže s touto částí. Protože víme, že BA nebo taky AB je rovna AC, což bylo zadáno, a tím známe i EB. Napíšu to sem, i když to bude tak trochu chaotické. Tvrzení 7 nám dá nějaký prostor. Víme, že BE je rovno CF. Zapíšu to, BE je rovna CF. A jak to víme? Napíšu zdůvodnění sem. Trochu to tady uspořádám. Tento sloupec pomalu ujíždí doleva. Jak tedy víme, že BE je rovna CF? Víme, že délka BE je rovna délce BA minus AE. Je rovna délce BA minus AE. Měl bych spíše říci AB. Tak jsem to nazval tady, takže je to rovno AB minus AE, což je totéž jako, na základě těch posledních věcí, které jsme viděli, jako AC mínus AF. Protože AB je rovno AC, takže je to rovno AC. AE je, jak jsme si ukázali, shodné s AF. AC minus AF a AC minus AF je totéž jako CF přímo tady, je to rovno CF. A my to víme z tvrzení 1, a také to víme z tvrzení 5 a 6. Vlastně jsme nepotřebovali tvrzení 5. Potřebujeme jen 1 a 6. Takže to, potřebujeme vědět, získáme z tvrzení 1 a 6 . Víme, že tato strana je rovna této straně. Tato malá část je rovná této části. Takže pokud odečteme velká část minus malá část. Tohle tady se rovná tomuto zde. To je všechno. Tato žlutá strana je rovna této žluté straně tady. Další věc, kterou víme, vychází z vrcholových úhlů EDB. Úhel EDB bude shodný s úhlem FDC. Opět zapíši. Takže za osmé, víme, že úhel EDB je roven úhlu FDC. Vyplývá to z vrcholových úhlů, které jsou shodné, neboli jejich velikosti se rovnají. A teď tady máme opět něco zajímavého. Máme oranžový úhel-bílý uhel-strana. Víme, že tyto dva menší trojúhelníky jsou shodné. Tak, teď už víme, že nechci ztratit svůj diagram. Víme, že trojúhelník BED… Máme tvrzení 9. Víme, že trojúhelník BED je shodný… BED je tento a je shodný s trojúhelníkem… Nyní chceme použít stejné strany: bílý úhel-žlutá strana a oranžový úhel. Bílý úhel, tady dávejme pozor. Takže B je bílý úhel, E je neoznačený úhel, a D je oranžový úhel. Takže začneme C-neoznačený úhel-oranžový úhel. Trojúhelník CFD. A opět to vyplývá z oranžový úhel-bílý úhel-strana. Takže úhel-úhel-strana, oranžový úhel-bílý úhel-strana. Takže to vyplývá přímo z věty o shodnosti úhel-úhel-strana. A protože víme, že tento trojúhelník se rovná tomuto trojúhelníku, víme že jejich příslušné strany jsou shodné. A to je naše finále. Nyní víme, z těchto dvou shodných trojúhelníků, že ED je rovno DF, protože jsou odpovídajícími si stranami. Mohl bych napsat právě sem, ED se rovná DF. A opět důvod je stejný jako tady, odpovídající si strany. Takže známe tvrzení 9, což znamená že jsou shodné. A odpovídající strany jsou shodné. Jsme hotovi. To byl ale komplikovaný příklad. Ale opět vidíme, krůček po krůčku se snažíme přijít na každý trojúhelník a nakonec to vyřešíme. Opravdu nejtěžší není ani tak uvědomit si, která pravidla použít a jak, jako spíš vidět ten správný trojúhelník, dostat z něj další údaje. Vidět, že dostaneme BE odečtením AE od AB. Vidět, že tam jsou dva trojúhelníky, které se trochu překrývají, ať už to nazveme hvězdou nebo ručičkami.
video