Vztah mezi protilehlými úhly ve čtyřúhelníku vepsaného v kružnici Dokážeme si, že protilehlé úhly čtyřúhelníku vepsaného v kružnici jsou doplňkové, tj. mají součet 180°.

Mám tu libovolný vepsaný čtyřúhelník v této kružnici a chci dokázat, že pro jakýkoliv vepsaný čtyřúhelník jsou protilehlé úhly doplňkové. Když řeknu, že jsou doplňkové, znamená to, že velikost tohoto úhlu plus velikost tohoto úhlu bude 180 °. Velikost tohoto úhlu plus velikost tohoto úhlu bude 180°. A pokusím se to dokázat tak, že budu předpokládat, že velikost tohoto úhlu je 'x' stupňů. A pokud můžeme dokázat, že velikost tohoto protějšího úhlu je 180 minus 'x' stupňů, pak dokážeme, že protější úhly v libovolném čtyřúhelníku vepsaném v kružnici jsou doplňkové. Protože pokud je toto 180 minus 'x', 180 minus 'x' plus 'x' je 180 stupňů. Takže, opět si zastavte toto video a zkuste, jestli zvládnete ten důkaz sami. Dám vám nápovědu. To řešení bude spočívat ve velikosti oblouků, které vymezují různé úhly. Tak, trochu o tom uvažujme. Tento úhel má velikost 'x' stupňů. Vymezuje tento oblouk, přičemž vidíme, že jedno rameno úhlu protíná kružnici tady a druhé rameno tady. A tak je toto oblouk, který vymezuje označil jsem ho žlutě, žlutou barvou. Zkusím to vybarvit. Moc se mi to nedaří, ale aspoň Vám to trochu přiblížím. Tohle je ten oblouk. Z minulých videí už víme, že vztah obvodového úhlu (vrchol tohoto úhlu leží na kružnici)... vztah mezi obvodovým úhlem a velikostí oblouku, který vymezuje, je takový, že velikost obvodového úhlu je poloviční oproti velikosti oblouku, který vymezuje. Takže, pokud má tento 'x' stupňů, potom velikost tohoto oblouku bude '2x', '2x' stupňů. To je vcelku zajímavé, ale pokračujme. Pokud je velikost tohoto oblouku '2x' stupňů, jaká je velikost tohoto oblouku? Tohoto oblouku, který je dokončením do celé kružnice. Celá kružnice má 360 °, Takže tento modrý oblouk, na který právě ukazuji, by měl měřit 360 minus '2x' stupňů. 360 je celá kružnice. Ta modrá část je celá kružnice minus žlutý oblouk. Ten modrý oblouk je zbytek, pokud odečtete ten žlutý oblouk od celé kružnice. Jaký úhel vymezuje ten modrý oblouk? Jaký obvodový úhel vymezuje tento modrý oblouk? Je to tento úhel. Velikost tohoto úhlu chceme zjistit. A vyjádřit ho pomocí 'x'. Dělá mi trochu problém měnit barvy... Je to tento úhel. Povšimněte si, že dvě ramena tohoto úhlu vymezují tento oblouk. Takže znovu - velikost obvodového úhlu bude poloviční vzhledem k velikosti oblouku, který vymezuje. Takže, kolik je 1/2 krát (360 minus '2x')? 1/2 krát 360 je 180. 1/2 krát '2x' je 'x'. Takže velikost tohoto úhlu bude 180 minus 'x' stupňů. 180 minus 'x' stupňů, přesně tak jsme dokázali, že protilehlé strany tohoto obecného čtyřúhelníku vepsaného v kružnici jsou doplňkové. Sečtete 'x' plus 180 minus 'x' a dostanete 180 stupňů. Takže jsou doplňkové.