Kruhy a kružnice
Přihlásit se
Kruhy a kružnice (21/29) · 4:58

Příklad na dopočet úhlů ve čtyřúhelníku vepsaném v kružnici Na konkrétních číslech si ukážeme, jak lze využít toho, že protilehlé úhly v libovolném čtyřúhelníku vepsaném v kružnici dávají dohromady 180 stupňů.

Navazuje na Obvod, obsah, objem II.
V tomto videu bych rád zjistil, jestli budeme schopni vyjádřit velikost úhlu u vrcholu 'D'. Velikost úhlu u vrcholu 'D'. A, jako vždy, zastavte si toto video a schválně, jestli na to přijdete sami. A dám vám malou nápovědu. Přemýšlejte o tom, jak spolu souvisí úhel a velikost oblouku, který vymezuje. Tak, popřemýšlejte nad tím. Pusťme se do toho. Co známe? Úhel u vrcholu 'D' vymezuje oblouk. Vymezuje tenhle vcelku velký oblouk, který zvýrazním fialovou barvou. Takže, vymezuje tenhle oblouk. Neznáme jeho velikost. Tedy, alespoň zatím neznáme velikost toho oblouku. Pokud bychom jeho velikost znali, velikost toho zvýrazněného oblouku, znali bychom pak i velikost úhlu u vrcholu 'D', protože velikost obvodového úhlu je poloviční vzhledem k oblouku, který tento úhel vymezuje. Už jsme si to ukazovali mnohokrát. Pokud bychom znali velikost oblouku, byli bychom schopni zjistit velikost úhlu u vrcholu 'D'. Ale my velikost oblouku neznáme. Známe však velikost jiného oblouku. Známe velikost oblouku, který společně s fialovým tvoří celou kružnici. Známe velikost tohoto oblouku. Možná si říkáte: "Hele, jak to můžeme vědět? Vždyť není označený." Důvodem, proč známe velikost tohoto oblouku, který jsem právě zvýraznil modrozeleně, je to, že známe velikost obvodového úhlu, který ho vymezuje. Tu informaci máme, je to 45 stupňů. Toto je 45°. Takže toto je 90° oblouk. Velikost tohoto oblouku je 90°. Velikost tohoto oblouku... myslím, že to můžeme zapsat takto... Velikost oblouku WL. WL je rovno 90°, je to dvojnásobek úhlu, který ho vymezuje. Jak nám to pomůže? Víme, že celá kružnice má 360°. Potom tenhle fialový oblouk, který nás zajímal před chvílí... Tak pokud zjistíme jeho velikost, zjistíme i velikost úhlu u vrcholu 'D'. Ty oblouky budou mít dohromady 360°. Zapíšu to. Velikost oblouku... tohoto velkého... LIW Velikost oblouku LIW plus velikost oblouku WL... velikost oblouku... oblouku WL... bude 360°. Bude se to rovnat 360° Dále, už víme, že toto je 90°. Už víme, že velikost oblouku WL je 90°. Takže, pokud odečteme 90° z obou stran, zjistíme velikost tohoto velkého oblouku. Velikost oblouku LIW bude 270°. Vzal jsem 360, což je celá kružnice, a odečetl jsem 90°. A zůstalo mi 270°. Zase si to zapíšu. Velikost fialového oblouku tedy je 270°. Teď můžeme vypočítat velikost úhlu u vrcholu 'D'. Je to obvodový úhel, který vymezuje oblouk. Takže bude poloviční oproti velikosti oblouku. Takže, polovina z 270. Což je 135° - máme hotovo. Možná si všimnete něčeho zvláštního. Pokud sečteme 135° a 45°, vyjde nám 180°. Vypadá to, aspoň v tomhle případě, že jsou tyhle úhly protější tohoto vepsaného čtyřúhelníka. Vypadá to, že jsou výplňkové. Otázka zní: budou vždy výplňkové? Pokud máme čtyřúhelník, libovolný čtyřúhelník, vepsaný v kružnici, což znamená že všechny jeho vrcholy leží na kružnici. Pokud to tak je, jsou protější úhly čtyřúhelníka vždycky výplňkové? Vždycky mají součet 180°? Zamyslete se nad tím a zkuste to i dokázat, pokud na to budete mít chvilku. Důkaz je hodně podobný tomu, co jsme dělali v tomto videu. Abychom to dokázali, budeme tu muset počítat s trochu obecnějšími čísly, však víte, prostě místo 45° bychom tu mohli mít 'x'. A pak byste chtěli dokázat, že toto bude 180 minus x Takže, doporučuji, zkuste to propočítat. Ale budu na to dělat i video. Pak můžete porovnat, jestli jste na to šli stejně.
video