Kruhy a kružnice
Přihlásit se
Kruhy a kružnice (23/29) · 3:56

Vlastnosti tečny ke kružnici 2 Pokud z bodu vně kružnice vedu dvě tečny ke kružnici, vytvořím tím (spolu s poloměrem) dva shodné pravoúhlé trojúhelníky.

Navazuje na Obvod, obsah, objem II.
Máme tu kružnici se středem v bodu 'O'. Nyní si zvolíme libovolný bod ležící vně kružnice. Vezměme si třeba tento bod. Bod 'A'. Pokud mám libovolný bod vně kružnice, můžu jím vést dvě libovolné tečny. Budou procházet bodem 'A' a budou se kružnice dotýkat v jednom bodě. Takže je zakreslím. První by vypadala takto... Začnu odsud... ... a zakreslím tečnu kružnice. Bude vypadat asi takhle. A ta druhá... ta druhá... bude vypadat asi takhle. Řekněme, že bod, ve kterém se tečna dotýká kružnice, pojmenujeme 'B' a tento bod bude bod 'C'. Toto je bod 'C'. A nyní chci dokázat... chci dokázat, že úsečka 'AB' je shodná s úsečkou 'AC'. Jinými slovy, chci dokázat, a zakreslím to jinou barvou, chci dokázat, že tato úsečka je shodná s touto úsečkou. Doporučuji Vám, zastavte si video a zkuste si to sami předtím, než na tom začneme pracovat společně. Tak, můžeme začít. Nejdřív zakreslím dva trojúhelníky. Dva trojúhelníky. A budou to pravoúhlé trojúhelníky. Nakreslím pár přímek, abych ty trojúhelníky vytvořil. Jedna přímka, přesně takto. ... Co o těchto dvou trojúhelnících víme? Inu, jak jsem zmínil, víme, že jsou pravoúhlé. Ale jak to víme? V minulém videu jsme zjistili, že pokud máme poloměr kružnice, který protíná tečnu, protíná ho pod úhlem 90°. Dokázali jsme si to. Takže toto je poloměr. A toto je tečna. Protnou se v pravém úhlu. Poloměr, tečna, pravý úhel. Také víme, že vzhledem k tomu, že úsečky 'OB' a 'OC' jsou obě poloměry téže kružnice, tak mají stejnou délku. Takže tato strana... a zakreslím to jinými barvami ... bude shodná s touto stranou. A, jak vidíte, přepona obou trojúhelníků je stejná strana - strana 'OA'. Čili je jasné, že je shodná. Protože se jedná o tutéž stranu. Máme tu dva trojúhelníky: trojúhelník 'ABO' a 'ACO'. Oba jsou pravoúhlé a mají dvě strany shodné: mají shodnou přeponu a jednu shodnou stranu, odvěsnu. A jak víme, pokud máme dva pravoúhlé trojúhelníky, které mají shodné přepony a jednu shodnou odvěsnu, pak jsou tyto pravoúhlé trojúhelníky shodné. Trojúhelník 'ABO' je tedy shodný s trojúhelníkem 'ACO'. Tento důkaz... jak pravý Pythagorova věta, pokud známe dvě strany pravoúhlého trojúhelníka, určují nám pak i velikost třetí strany. Čili třetí strana, 'AB', její délka bude stejná jako délka strany 'AC'. Vychází to z toho, že jsou tyto trojúhelníky pravoúhlé a pokud jsou dvě strany těchto pravoúhlých trojúhelníků shodné, pak musí být shodná i třetí strana. Toto vychází z Pythagorovy věty. A máme hotovo. Snad to chápete, že 'AB' bude sdhoné s 'AC'. Můžete to chápat i tak, že pokud máte bod vně kružnice a zkonstruujete úsečky, které jsou ke kružnici tečné, budou tyto úsečky shodné.
video