Kruhy a kružnice
Přihlásit se
Kruhy a kružnice (22/24) · 8:20

Speciální případ kolmosti mezi poloměrem a tětivou S použitím věty sss si dokážeme, že pokud poloměr prochází středem sečny, jsou tyto usečky na sebe kolmé.

Navazuje na Obvod, obsah, objem II.
V předešlém videu jsme se naučili, že pokud máme dva různé trojúhelníky, jejichž odpovídající si strany mají stejnou délku, pak podle věty sss víme, že tyto dva trojúhelníky jsou shodné. Nastínil jsem téma axiomy nebo postulátu, ale chci to ujasnit: někdy se setkáte s názvem věta sss - věta - a někdy s názvem sss postulát nebo axiom - postulát nebo axiom. Měli bychom si to rozlišit. Postulát, axiom je něco, co předpokládáte, co od začátku jen předpokládáte, zatímco věta je něco, co se dá dokázat na základě postulátů nebo axiomů. V matematice vždy děláme nějaké základní předpoklady. Základní předpoklady, které nazýváme axiomy nebo postuláty. Axiomy nebo postuláty. A pomocí nich se pokoušíme dokázat věty. Takže lze pomocí této dokázat nějakou takovou větu, pak pomocí této teorie a těchto axiomů můžeme dokázat další větu a pomocí obou těchto vět mohu dokázat další větu - myslím, že to chápete. Takto axiom vytvoří tuto větu, a tyto dva by mohli vytvořit takovou větu. Vlastně se snažíme vytvářet nové předpoklady a věty, a celá matematika je postavena na těchto základních předpokladech. V úvodní geometrii nedokážeme větu sss. Nedokážeme větu sss. Proto ji většina považuje za něco daného, jako postulát, nebo axiomu. Proč toto všechno dělám? Hlavně chci, abyste věděli rozdíl mezi slovy věta a postulát nebo axiom. Abyste nebyli zmateni. Je to prostě něco, co je dáno, ale ve více knihách, do kterých jsem koukal, je to označené jako věta sss, i když to vlastně nijak nedokázali. Prostě to předpokládají. Takže ve skutečnosti je to spíše postulát nebo axiom. Pojďme dál, předpokládejme tedy, že toto, je pravda, berme to jako už dané. Chci vám ukázat, že to můžeme nějak využít. Řekněme, že máme kružnici. Máme kružnici. Můžeme to tady využít. Tato kružnice má střed v bodě A. Řekněme, že máme tětivu, která není průměrem kružnice. Nakreslete si ji sem. Nakreslete si do kružnice tětivu, je to vlastně část sečny, a řekněme, že máme přímku, která prochází středem kružnice a protíná a půlí tuto tětivu. Můžeme ji označit jako poloměr, protože jde od středu ke kraji kružnice. Takže jdeme do středu kružnice. Když říkám, že ji protíná, a tady začíná náš příklad, myslím tím, že ji dělí na dvě poloviny. Takže délka této úsečky se bude rovnat délce této úsečky. Řekli jsme, že máme tedy kružnici. Její poloměr protíná tětivu kružnice. Naším úkolem je dokázat, že poloměr protíná tětivu v pravém úhlu. Jinými slovy… Dopíšu si tu nějaké body. Označme tento jako B, tento C a tento D. Chceme dokázat, že úsečka AB je kolmá… Protíná tětivu v pravém úhlu, je kolmá na úsečku CD. Dokážeme to použitím věty sss, nebo tomu říkejte sss postulát nebo axiom. Podívejme se na to takto. Chceme použít větu sss, tak potřebujeme trojúhelníky. Žádné tu nemáme, ale můžeme si je sestrojit na základě toho, co už víme. Například jej mohu sestrojit tady, zde je nějaký poloměr, takže toto tady je poloměr kružnice, délka bude stejná jako délka poloměru kružnice. Totéž můžeme udělat na druhé straně, délka AC se též rovná poloměru kružnice. Tedy víme, že tyto dvě úsečky mají stejnou délku, která je rovna poloměru kružnice. Můžeme říci, že AD je shodná s AC, mají tedy stejnou délku. Od začátku víme, že tato část se rovná délce této části. Označme si tento bod nějak, označme si tento bod jako E. Od začátku víme, že CE je shodná s ED, takže mají stejnou délku. CE má stejnou délku jako ED. Dále víme, že oba tyto trojúhelníky, tento nalevo a tento napravo, sdílejí stranu EA, takže EA se rovná straně EA. Je to vlastně stejná strana. Tyto dva trojúhelníky mají stejnou stranu. Trojúhelníky jsou tedy k sobě přilehlé. Máme tu tedy dva různé trojúhelníky, které mají odpovídající si strany stejné. Tato strana je stejná jako tato strana. Tato strana má stejnou délku jako tato strana. A pak tu máme stranu AE, která je shodná pro oba trojúhelníky. Je to odpovídající si strana pro oba trojúhelníky. Podle věty sss víme, že trojúhelník ABC, trojúhelník ABC je shodný s trojúhelníkem… Promiňte ne ABC, ale AEC. Sepišme si to. Podle věty sss víme, že trojúhelník AEC je shodný s trojúhelníkem AED. Ale jak nám to pomůže? Jak nám pomůže to, že známe naši větu sss? Jak nám tato věta pomůže? Když už víme, že tyto dva trojúhelníky jsou shodné, tak můžeme z toho dedukovat, že všechny jejich úhly jsou shodné. Můžeme si tedy vyvodit, že tento úhel… Velikost tohoto úhlu CEA se rovná velikosti úhlu DEA. Tato informace je pro nás užitečná, protože když se na to podíváme, vidíme, že tyto dva úhly jsou doplňkové úhly. Jsou k sobě přilehlé, jejich vnější strany tvoří přímku. CEA je doplňkový a shodný úhel s úhlem DEA. Takže jsou také doplňkové úhly. Víme, že velikost úhlu CEA plus velikost úhlu DEA se rovná 180 stupňů. Ale jsou také shodné, takže můžeme vyměnit velikost DEA za velikost úhlu CEA. Mohu to tedy napsat jako 2 krát velikost úhlu CEA se rovná 180 stupňů. Vydělíme obě strany 2 a dostaneme, že velikost úhlu CEA se rovná 90 stupňů. Stejnou velikost bude mít i úhel DEA, protože tyto dva úhly jsou shodné. Takže tento úhel má 90 stupňů. Označíme ho hranatým obloučkem. Tento úhel má také 90 stupňů, a protože v místě, kde AB protíná CD, je 90 stupňů, zde i zde, u těchto dvou úhlů bychom to mohli také dokázat, tak jsem dokázali, že jsou na sebe kolmé.
video