Kruhy a kružnice
Přihlásit se
Kruhy a kružnice (23/24) · 6:57

Speciální případ kolmosti mezi poloměrem a tětivou 2 Toto video v návaznosti na předchozí dokazuje, že poloměr kolmý na tětivu tuto úsečku půlí.

Navazuje na Obvod, obsah, objem II.
V předešlém videu jsme si ukázali, že pokud máme kružnice se středem zde a platí že OD je poloměr, který půlí tětivu AC, přičemž půlit znamená rozdělit na stejné části, neboli AB = BC, v předchozím videu jsme dokázali, že OD bude kolmá na AC. Dokázali jsme, že můžeme tvrdit, že to je kolmice. Pokud se na to chcete podívat, najděte si to video, tam pro to snad najdete důkaz. V tomto videu bych na to chtěl jít opačně. Pokud víme, že OD je poloměr, který je kolmý na tětivu AC, v tomto videu bych chtěl dokázat, že ji také půlí. V tomto videu nebudeme předpokládat, že ji půlí. Budeme předpokládat kolmost. Takže se na to podíváme opačně. Tam jsme začali tím, že ji půlí a dokazovali jsme kolmost, to bylo minule, nyní začneme s tím, že víme, že jsou na sebe kolmé, a dokážeme, že poloměr tětivu půlí. Tak jako při předešlém důkazu, i teď si zde sestrojíme trojúhelníky, protože o nich už tolik víme. Trojúhelníky si sestrojíme tak, že si dokreslíme dva poloměry, poloměr OC a poloměr OA. Je to velmi užitečné, protože víme, že oba jsou poloměry téže kružnice, takže mají stejnou délku, délka poloměru se v kružnici nemění. Takže mají stejnou velikost. Už asi vidíte, co bude dál, protože trojúhelník O… …označme si tento bod jako M, neboť doufáme, že to bude střed strany AC. Trojúhelník AMO je pravoúhlý trojúhelník. Toto je jeho přepona. AO je jeho přepona. Trojúhelník OMC je také pravoúhlý a toto je jeho přepona. Už jsme si řekli, že jejich přepony mají stejnou délku a že oba pravoúhlé trojúhelníky sdílejí společnou stranu OM. OM je rozhodně rovna sama sobě. V předešlém videu… … ale ne v tom, kde jsme rozebírali tuto problematiku… … ale myslím, že ve videu, kde jsme rozebírali více větu SSU, jsme řekli, že ssu není věta o shodnosti trojúhelníků. Uvedli jsme, že PSP je věta o shodnosti trojúhelníků, a PSP nám říká, že máme-li pravoúhlý trojúhelník, odtud „P“, jednu stranu shodnou, odtud „S“, a přepona je shodná, odtud „P“, pak máme dva shodné trojúhelníky. Pokud se podíváme sem, máme tu dva pravoúhlé trojúhelníky. AMO je pravoúhlý trojúhelník, CMO je pravoúhlý trojúhelník. Mají jedno rameno společné, to je MO, a obě jejich přepony jsou shodné. Takže podle věty PSP víme, že trojúhelník AMO je shodný s trojúhelníkem CMO. Podle věty PSP. Tím pádem víme, že pokud jsou shodné, jejich odpovídající si strany jsou shodné. Takže na základě toho víme, že AM je odpovídající strana… … udělám to jinou barvou… … AM odpovídá straně MC, pak AM musí být shodná se stranou MC, protože to jsou odpovídající si strany. Pokud si tedy jsou rovné, pak víme, že OD půlí tětivu AC. Druhý způsob, jak to dokážeme bez pomoci věty PSP, je rovnou pomocí Pythagorovy věty. Díky těmto poloměrům, které jsme si nakreslili víme, že OA… … nakreslím tu čáru, tohle je jiný způsob důkazu… … víme, že OA se rovná straně OC. A také víme, že strana OM se rovná sama sobě, a z Pythagorovy věty víme, že AM… … jinou barvu… víme, že AM na druhou plus OM na druhou se rovná OA na druhou. Součet délek obou ramen na druhou se rovná délce přepony na druhou. Takže toto víme o levém trojúhelníku AMO. Totéž uděláme i v pravém trojúhelníku CMO. V trojúhelníku CMO víme, že… … tak, aby to odpovídalo… že CM na druhou plus OM na druhou se rovná OC na druhou. Nyní víme pár věcí. Víme, že OA se rovná straně OC. Takže tady, kde máme OA na druhou, můžeme to nahradit OC. Pak můžeme vidět, že CM a AM jsou stejné, ale abychom to ukázali formálněji, můžeme odečíst OM na druhou z obou stran této rovnice a dostaneme AM na druhou se rovná OC na druhou. Nahradil jsem to OC na druhou minus OM na druhou, to je levý trojúhelník, a v pravém trojúhelníku, pokud odečteme OM na druhou z obou stran, dostaneme CM na druhou se rovná OC na druhou minus OM na druhou. Pak odmocníme obě strany rovnice tak, abychom dostali kladný kořen, protože vzdálenosti nechceme záporné, takže pokud odmocníme obě strany rovnice, dostaneme AM se rovná odmocnině z tohoto, a dostaneme, že CM se rovná odmocnině z tohoto. Tyto dvě části jsou stejné, takže AM se musí rovnat CM. Obě jsou rovné této velikosti. AM se rovná CM, OM může půlit tětivu. Je to logické. Pokud víte, že dvě strany rozdílných pravoúhlých trojúhelníků budou shodné, můžete použít Pythagorovu větu, abyste dostali třetí stranu, a pak třetí stranu vyjádříte pomocí délek dalších dvou stran, neboť jde o pravoúhlý trojúhelník. Různé způsoby, jak se dostat ke stejnému výsledku. Nyní si můžeme být jisti, že pokud OD je kolmá, rozdělí tětivu na polovinu.
video