Věta o trojúhelníku vepsaném do kružnice - speciální případ Pokud vepíšeme trojúhelník do kružnice takovým způsobem, aby přepona procházela středem kružnice, bude tento trojúhelník vždy pravoúhlý.

Představte si kružnici s nějakým průměrem. Zkusím ho nakreslit. To by docela šlo. Žlutá čára uprostřed se nazývá průměr kružnice. Průměr kružnice. A teď si představte trojúhelník, jehož jednu stranu tvoří tahle žlutá úsečka, s vrcholem umístěným kdekoli na bílém obvodu kružnice. Jeden z vrcholů trojúhelníku tak bude ležet na kružnici. Trojúhelník může vypadat například takhle. V tomto videu vám chci ukázat, že tenhle trojúhelník je pravoúhlý. Pravý úhel se vždycky bude nacházet na opačné straně než průměr kružnice. Nechci ho zatím označovat, protože bychom si neužili zábavu s jeho objevováním. Podívejme se, jak si to můžeme dokázat. Použijeme znalosti týkající se obvodového úhlu a jeho vztahu k úhlu středovému, který vytyčuje tentýž oblouk. Pojďme to zkusit. Toto je obvodový úhel. Označme ho písmenem theta. Nyní si označím střed své kružnice a vytvořím středový úhel. Povedeme do středu úsečku a tím vzniknou další trojúhelníky V kružnici se objeví nový, středový úhel. Toto je poloměr. Tohle je taky poloměr Obě úsečky jsou stejně dlouhé. V minulých videích jsme zjistili, že obvodový úhel vytyčuje v kružnici oblouk. Dozvěděli jsme se, že středový úhel, který k obvodovému úhlu vytyčuje stejný oblouk, bude mít dvojnásobnou velikost. To jsme si dokázali v předchozích videích. Takže středový úhel bude mít velikost 2 krát theta. Je to proto, že středový úhel vymezuje tentýž oblouk. Uvědomme si, že tento trojúhelník tady... je rovnoramenný. Mohl bych ho otočit a překreslit takto. Otočený by vypadal takhle. Zelená by byla základna. Obě tyto strany mají stejnou délku, která se rovná poloměru kružnice. U vrcholu je úhel 2 krát theta. Je to úplně stejný trojúhelník jako v kružnici, jen jsem ho pro vás otočil. Tato žlutá strana je totožná s touhle. Protože je to rovnoramenný trojúhelník (dvě strany jsou stejně dlouhé), úhly přilehlé k základně musejí být stejné. Tenhle je stejný s tímhle, nebo, když to nakreslím sem, tady a tady musí být stejný úhel. Jeden úhel jsem už označil jako theta, tenhle bude třeba 'x'. Takže tenhle bude 'x' a tenhle také, čemu se bude rovnat 'x'? 'x' plus 'x' plus 2 krát theta se musí rovnat 180 stupňům. To jsou tři úhly našeho rovnoramenného trojúhelníka. Ještě to napíšu. x plus x plus 2 theta = 180° To je 2x plus 2 theta = 180° 2x = 180° minus 2 theta Vydělte obě strany dvěma a dostanete x = 90° minus theta Proto x = 90° minus theta Co dalšího si můžeme ukázat? Podívejme se na trojúhelník zde. Tento trojúhelník, či tato strana, se také rovná poloměru kružnice. Tato vzdálenost, kterou jsme si už popsali, je další poloměr. Takže ještě jednou, i toto je rovnoramenný trojúhelník. Tyto dvě strany jsou stejné, a tudíž i tyto dva úhly musí být stejné. Pokud je tento úhel theta, i druhý úhel bude theta. A opět vycházíme ze stejných informací a využíváme stejné znalosti jako v předchozím případě o středových a obvodových úhlech a jejich obloucích. Tento úhel je tedy theta, protože se jedná o rovnoramenné trojúhelníky. Jaký tedy bude tento úhel? Bude opět theta plus 90° minus theta Tento úhel bude theta plus 90° minus theta. Hodnoty theta se navzájem vyruší. Takže pokaždé, když jedna strana trojúhelníka tvoří průměr a protilehlý úhel či jeho vrchol leží na kružnici, pak tento úhel bude vždy pravý. Bude se jednat o pravoúhlý trojúhelník. Kdybych nakreslil méně pravidelný trojúhelník, třeba takový... Bod si nakreslím třeba sem a trojúhelník bude vypadat takto, pravý úhel bude tady. Nakreslím-li trojúhelník takto, pravý úhel bude zde. U každého z těchto trojúhelníků bych úplně stejným postupem dokázal, že budou pravoúhlé. Způsob, jak jsme ověřovali pravoúhlost prvního trojúhelníku, platí na kterýkoli trojúhelník takto vepsaný do kružnice.