Obvod, obsah, objem II
Přihlásit se
Obvod, obsah, objem II (1/16) · 7:51

Obsah pravidelného šestiúhelníku Spočítáme obsah pravidelného šestiúhelníku tak, že si ho rozložíme na trojúhelníky, jejichž obsah už vypočítat umíme.

Navazuje na Objem a povrch.
Je dáno, že ABCDEF je pravidelný šestiúhelník. A ta část pravidelný nám říká… Šesti říká, že to má 6 stran, můžete si je spočítat. Nemuseli nám říkat, že to je šestiúhelník. Ale slovo pravidelný nám říká, že všechny strany… Všech šest stran má stejnou délku a vnitřní úhly mají stejnou velikost. Dobrá. A pak je dána délka jedné ze stran. Protože je to pravidelný šestiúhelník, tak je vlastně dána délka všech stran. Říkají, že je to 2 krát odmocnina ze 3. Tak tato strana má délku 2 odmocniny ze 3. Tato strana je 2 odmocniny ze 3. Můžu jít dokola celého šestiúhelníku, a každá ze stran má délku 2 odmocniny ze 3. Chtějí, abychom zjistili obsah tohoto šestiúhelníku. Zjistit obsah ABCDEF. Nejlepší způsob, jakým jde zjistit obsah pravidelných mnohoúhelníků, je rozdělit je na trojúhelníky. Šestiúhelníky jsou trochu speciální. Možná v nějakém dalším videu se zamyslíme nad obecným případem mnohoúhelníku. Se šestiúhelníkem můžete přemýšlet nad tím, že… Pokud vezmeme tento bod a nazveme ho G… Řekněme, že je to střed šestiúhelníku. A když mluvím o středu šestiúhelníku, tak mluvím o bodu, který nemůže být stejně vzdálen od všeho, protože toto není kruh. Ale můžeme říci, že je stejně vzdálen od všech vrcholů. Takže GD má stejnou délku jako GC a jak GB, má stejnou délku jako GA, i jako GF a jako GE. Takže nakreslím něco z toho, o čem jsem právě mluvil. Takže toto je GE. Toto je GD. Toto GC. Všechny tyto čáry jsou stejně dlouhé. Takže tady je bod G, který můžeme nazvat středem tohoto mnohoúhelníku. A víme, že tato délka se rovná této a této, i této délce a také této, i této. Víme také, že když přidáme… Když půjdeme kolem celého kruhu, tak uděláme plnou otočku a bude to 360 stupňů. A víme, že tyto trojúhelníky budou navzájem shodné, existuje řada způsobů, jak to dokázat. Nejjednodušší je, podívat se, že mají dvě strany. Všechny mají shodnou tuto a tuto stranu, protože G je uprostřed a všechny mají třetí stranu délky 2 odmocniny ze 3. Takže podle pravidla SSS jsou všechny shodné. To nám říká, že pokud jsou všechny shodné, tak tento úhel, tento vnitřní úhel zde, bude stejný. Bude stejný pro všech 6 těchto trojúhelníků. Mohli bychom ho nazvat X. Toto je úhel X, toto je X, toto je X, toto je X, toto je X. A když je všechny spočítáte, tak jste obešli celý kruh. Prošli jsme 360° a máme 6 těchto X. Takže dostanete 6X se rovná 360°. Vydělíte obě strany 6 a dostanete X se rovná… X se rovná 60°. Všechny tyto úhly mají 60°. Tady to je zajímavé. Víme, že tyto trojúhelníky… Například trojúhelník GBC, ale můžeme to udělat pro kterýkoli z těchto trojúhelníků. Vypadá to triviálně. Ale víme, že určitě jsou to rovnoramenné trojúhelníky. Že tato vzdálenost je stejná jako tato vzdálenost. Tuto informaci umíme použít tak, abychom zjistili, jaké jsou ostatní úhly. Protože tyto 2 úhly při základně… Je to rovnoramenný trojúhelník, obě ramena jsou stejná a také úhly u základny. Tento úhel bude stejný jako tento, a můžeme ho nazvat Y. Takže máte Y plus Y, což je: 2Y plus 60° se rovná 180°, protože součet vnitřních úhlů jakéhokoli trojúhelníku je 180°. Odečtěte od obou stran 60, dostanete 2Y se rovná 120. Vydělíte obě strany 2 a dostanete Y se rovná 60°. A to je zajímavé. Mohl jsem to udělat s jakýmkoli z trojúhelníků. Všechny jsou to 60° trojúhelníky, což nám říká… A to už jsme dokazovali dříve, když jsme začali zkoumat rovnostranné trojúhelníky. Víme, že pokud všechny úhly trojúhelníku mají 60°, tak pak to je rovnostranný trojúhelník! Což znamená, že všechny jeho strany mají stejnou délku. Takže toto je 2 krát odmocnina ze 3, toto je také 2 krát odmocnina ze 3. A i toto je 2 krát odmocnina ze 3. Všechny tyto zelené čáry mají délku 2 krát odmocnina ze 3. A to už jsme věděli, protože to je pravidelný šestiúhelník. Každá strana šestiúhelníku má délku 2 krát odmocnina ze 3. Takže teď v podstatě můžeme použít tu informaci, abychom zjistili… -- To vlastně nemusíme. Za chvilku vám to ukážu. -- Abychom zjistili obsah nějakého z těchto trojúhelníků a pak ho jen vynásobíme 6. Tak se zaměřme na tento trojúhelník. Zamyslete se, jak můžeme zjistit jeho obsah. Víme, že délka DC je 2 krát odmocnina ze 3. Můžeme si sem dokreslit výšku. Jen takto spustíme výšku. A když máme výšku, víme, že toto je rovnostranný trojúhelník a velmi snadno se dá ukázat, že tyto dva trojúhelníky jsou symetrické. Toto jsou oba pravé úhly. Už víme, že tyto úhly jsou 60°. A pak jen, pokud se podíváte na tyto dva trojúhelníky, řeknete si, že musí mít součet úhlů 180°, tak toto musí být 30° i toto musí být 30°. Všechny úhly jsou shodné. A navíc mají společnou stranu, takže tyto dva trojúhelníky jsou shodné. Pokud chceme zjistit obsah tohoto širšího kousku koláče zde, tak musíme zjistit obsah tohoto řezu, nebo této části, a pak ho vynásobit dvěma. Nebo můžeme zjistit tento obsah a vynásobit ho 12, abychom měli obsah šestiúhelníku. Jak zjistíme obsah této věci? Tohle bude polovina délky podstavy, takže tato délka zde a tento bod nazveme H. DH bude mít délku odmocnina ze 3. A už jsme zjistili, že toto je trojúhelník 30-60-90. Překreslím si ho sem. Toto je trojúhelník 30-60-90. A víme, že tato délka je odmocnina ze 3. Víme, a už jsme to i vypočítali, že toto je 2 krát odmocnina ze 3, ale to vlastně nepotřebujeme. Spíše potřebujeme zjistit tuto výšku. V tomto trojúhelníku má strana protilehlá k úhlu 60° délku odmocnina ze 3… Odmocnina ze 3 krát strana protilehlá k 30° úhlu. Takže toto bude odmocnina ze 3 krát odmocnina ze 3, krát odmocnina ze 3. Odmocnina ze 3 krát odmocnina ze 3 je očividně 3. Tato výška bude 3. Pokud chceme vypočítat obsah tohoto trojúhelníku, což je tento trojúhelník, je to jen 1/2 krát základna krát výška. Takže obsah tohoto malého kousku je jen 1/2 krát naše základna. Tato základna zde. Raději se vraťme o krok zpět. O toto se vůbec nemusíme starat. Pojďme přímo k většímu trojúhelníku GDC. Takže se vraťme kousek zpět, protože teď máme základnu a výšku celého trojúhelníku. Pokud nás zajímá obsah trojúhelníku GDC. Teď se dívám na celý tento trojúhelník. To se rovná 1/2 krát základna krát výška, což se rovná 1/2 krát… Jaká je naše základna? Základnu už známe, je to jedna ze stran našeho šestiúhelníku. Je to 2 krát odmocnina ze 3. Takže je to celá tato věc. Takže krát 2 krát odmocnina ze 3. A ještě to chceme vynásobit naší výškou. Tu jsme zjistili pomocí trojúhelníku 30-60-90. Takže naše výška je 3. Takže krát 3, 1/2 a 2 se vyruší a zůstane nám 3 krát odmocnina ze 3. To je obsah jednoho z těchto trojúhelníků. Když chceme zjistit obsah šestiúhelníku, tak to musíme ještě vynásobit 6. Protože takových trojúhelníků tu máme 6. Bude to rovno 6 krát 3 odmocniny ze 3, což je 18 odmocnin ze 3 a jsme hotovi.
video