Obvod, obsah, objem II
Přihlásit se
Obvod, obsah, objem II (11/16) · 9:12

Fraktál Kochova vločka Vysvětlíme si, že takzvaný fraktál je nesmírně zajímavý objekt, který má nekonečný obvod, ale konečný obsah.

Navazuje na Objem a povrch.
Řekněme, že tohle je rovnostranný trojúhelník. A chci z něj vytvořit jiný objekt. A udělám to tak, že vezmu každou stranu toho trojúhelníku a rozdělím je na 3 stejné části. Můj trojúhelník nebyl úplně perfektně nakreslený, ale myslím, že to chápete. A uprostřed bych rád sestrojil další rovnostranný trojúhelník. Takže to bude vypadat nějak takto. A tady nakreslím další rovnostranný trojúhelník. A z rovnostranného trojúhelníku jsem vytvořil něco jako Davidovu hvězdu. A teď to udělám znovu. Každou tuto stranu rozdělím na 3 části a uprostřed sestrojím další rovnostranný trojúhelník. Takže uprostřed sestrojím rovnostranný trojúhelník. Udělám to na každé straně. Udělám to tady. Taky tady. Myslím, že chápete, ale chci aby to bylo jasné. Pak také tady… A také tady a tady… A už skoro hotovo pro tuto iteraci. A bude to vypadat takto. A teď můžu znovu. Každou část můžu rozdělit na 3 stejné a sestrojit rovnostranný trojúhelník. Můžu tady, tady, tady… Asi chápete, kam tím mířím. A mohl bych to dělat donekonečna. A v tomto videu se chci zamyslet nad tím, co se tu děje. A co bych vlastně kreslil, kdybych to kreslil dál a dál. V každé iteraci se podíváme na každou stranu, rozdělíme ji na 3 stejné. A pak v další iteraci sestrojíme uprostřed další rovnostranný trojúhelník. Tento objekt, který tu popisujeme se nazývá Kochova vločka. A jsem si jistý, že špatně vyslovuji tu část „Koch“. Kochova vločka… Byla poprvé popsána tímto pánem, švédským matematikem, Nielsem Fabianem Helgem von Kochem kterého určitě špatně vyslovuji. A tohle byl jeden z prvních popsaných fraktálů. Takže je to fraktál. A důvod, proč je považován za fraktál, je, že vypadá stejně nebo velmi podobně, ať už se na něj díváte z libovolné dálky. Pokud se na něj díváte tady, uvidíte hromadu trojúhelníků s nějakými výběžky. Ale pokud byste se podívali zblízka sem, uviděli byste stále ten stejný tvar. A kdybyste se znovu podívali zblízka, uviděli byste jej znovu a znovu. Takže fraktál je cokoliv, co z každé vzdálenosti, při každém přiblížení, tak nějak vypadá pořád stejně. Takže to fraktál. Co je obzvláště zajímavé, a proč to vkládám do playlistu geometrie, je to, že má nekonečný obvod. Pokud byste kreslili dál, pokud byste doopravdy sestrojili Kochovu vločku, kde máte nekonečný počet těchto malinkatých trojúhelníčků. Pokud byste přidávali další a další rovnostranné trojúhelníky na každou stranu. A abychom ukázali nekonečný obvod, uvažujme jednu stranu tady. Řekněme, že začneme s touto stranou, řekněme, že začneme tam, kam jsme začali náš původní trojúhelník. A řekněme, že má stranu 's'. A pak ji rozdělíme na 3 stejné úseky. Takže budou, 's' lomeno 3, 's' lomeno 3… … vlastně to napíšu sem dolů… 's' lomeno 3, 's' lomeno 3, 's' lomeno 3. A uprostřed sestrojíme rovnostranný trojúhelník. Takže každá z těchto stran bude 's' lomeno 3. 's' lomeno 3, 's' lomeno 3. A teď, délka této nové části… … už to není přímka, protože má takový výběžek… Délka této části zde není jen 's', ale je 's' lomeno 3, krát 4. Předtím to bylo 's' lomeno 3, krát 3, Teď tu máme 1, 2, 3, 4 části o délce 's' lomeno 3. Takže teď, po jednom kroku, po prvním přidání trojúhelníků, naše nová strana, poté co jsme přidali výběžek, bude rovna 4 krát 's' lomeno 3. Neboli čtyři třetiny 's'. Pokud náš původní obvod, když to byl pouze trojúhelník… … 'P dolní index 0'… Po jednom kroku, po jednom přidání výběžků, náš obvod bude čtyři třetiny krát ten původní. Protože každá ze stran bude čtyři třetiny krát větší. Tohle je tvořeno třemi stranami, teď je každá z nich čtyři třetiny krát delší. Takže nový obvod bude čtyři třetiny krát původní. Teď uděláme další kolo, bude to čtyři třetiny krát to první. Takže každým kolem to bude čtyři třetiny krát větší. Nebo řekněme, že je o třetinu větší každým… … je čtyři třetiny krát víc než předchozí. A pokud to uděláte nekonečně mnohokrát, pokud vynásobíte libovolné číslo čtyřmi třetinami nekonečně mnohokrát, dostanete nekonečnou délku. Takže 'P nekonečno'… Obvod, pokud to provedete nekonečně mnohokrát, je nekonečný. To je samo o sobě docela hustý, jen přijít na něco, co má nekonečný obvod. Ale co je zajímavější, tak to, že má konečný obsah. A když říkám konečný, tak doopravdy zakrývá omezený prostor. Vlastně můžu nakreslit tvar kolem toho, a ta věc přes to nikdy nepřeroste. Nebudu dělat formální důkaz, ale zamysleme se, co se děje na každé této straně. Takže v prvním kroku nám vyskočí tento trojúhelník. A teď, když o tom zapřemýšlíte, když si nakreslíte, co se děje… … v další iteraci nakreslíte tyto trojúhelníčky sem. A pak tyto sem. A pak nakreslíte trojúhelníčky sem. A sem a sem a sem a sem... A tak pořád dokola. Ale všimněte si, můžete přidávat další a další. Můžete přidávat nekonečně mnoho těchto výběžků, ale nikdy nepřerostete přes tento původní bod. To samé bude platit na této straně zde. Také to bude platit na této straně. Také na této straně. Také to bude platit na této straně. A také i na této straně. Takže i když to uděláte nekonečně mnohokrát, tato Kochova vločka nebude mít nikdy větší obsah než tento šestiúhelník. Který nebude mít větší obsah než objekt, který vypadá takto. Jen si tak kreslím libovolné… No, chtěl jsem to nakreslit mimo… Mohl bych kolem nakreslit kružnici. Takže tato věc v modré nebo šestiúhelník ve fialové mají určitě daný obsah. A tato Kochova vločka bude vždy omezená, i kdybyste ty výběžky přidali nekonečně mnohokrát. Takže pár docela hustých věcí. Za prvé, je to fraktál. Můžete přibližovat jak chcete, pořád vypadá stejně. Další věc, nekonečný obvod a konečný obsah. Teď můžete říct: „OK, Sale, to je velmi abstraktní věc, takové věci v reálném světě neexistují.“ Ale je tu zajímavý myšlenkový experiment, o kterém lidé mluví ve světě fraktálů. A to je hledání obvodu Anglie. Nebo vlastně libovolného ostrovu. A Anglie vypadá nějak… … a nejsem expert, řekněme, že vypadá nějak takto… Můžete aproximovat obvod. Můžete změřit tuto vzdálenost plus tuto vzdálenost, plus tuto vzdálenost, plus tuto, plus tuto vzdálenost, plus tuto. A podívejte, má konečný obvod, určitě má konečný obsah. Má to konečný obvod, ale nepřijde vám to dost přesné. Musíte to aproximovat lépe. Místo odhadování takto zhruba, potřebujete hromadu menších čar. Potřebujete víc menších čar, abyste mohli obepnout pobřeží trochu lépe. Říkáte, že to je mnohem lepší aproximace. Ale pak, řekněme na nějaké části pobřeží, když dostatečně přiblížíme pobřežní čáru, bude vypadat nějak takto. Reálné pobřeží má v sobě takové zářezy. A v podstatě, když jste měřili poprvé, vlastně jste měřili jen tohle. A vy říkáte, že to není obvod pobřeží, musíte přece mít mnohem víc čar. Museli byste udělat něco takového… … abyste měli opravdu obvod pobřeží. A pak řeknete, že to už je docela dobrý odhad obvodu. Ale kdybyste to ještě více přiblížili na tuto část pobřeží, ukázalo by se, že by to nevypadalo přesně takto, ale vlastně by to vypadalo nějak takto… Možná by to vypadalo nějak takto. Takže místo těchto nepřesných čar, které vám to změří nějak takto, řeknete, že musíte jít ještě o něco blíže, a obepnout to ještě těsněji. A můžete v tom pokračovat, až byste se dostali na atomární úroveň. Takže opravdové pobřeží ostrova, nebo kontinentu, nebo vlastně čehokoliv, je tak trochu fraktálové. A můžete nad tím přemýšlet tak, že to má téměř nekonečný obvod. Samozřejmě v nějakém bodě se dostanete k atomům, takže to nebude úplně stejné. Ale je to tak trochu stejný fenomén. Je to zajímavá věc k zamyšlení.
video