Obsah Kochovy vločky (část 1) - pokročilé Zjišťování obsahu Kochovy vločky, která má nekonečný obvod. Využijeme u toho znalosti z předchozích videí.

Víme jak zjistit obsah rovnostranného trojúhelníku. V tomto videu se chci pokusit najít obsah… … a vím, že to říkám špatně… Kochovy vločky. A způsob jak ji sestrojit je, že začnete s rovnostranným trojúhelníkem a na každé straně jej rozdělíte na 3 části a uprostřed sestrojíte další, menší rovnostranný trojúhelník. A to je jeden krok. V dalším kroce to uděláte pro všechny strany. Takže tady, tady, tady… Myslím, že chápete, to je další krok. V dalším kroce pro všechny tyto strany. A co je opravdu krásné, to jsme ukazovali minule, že máte objekt s nekonečným obvodem, ale, jak uvidíme nyní, s konečným obsahem. Což je k zamyšlení. Začněme s čistým rovnostranným trojúhelníkem zde. Předpokládejme, že každá strana má délku 's'. Čistý rovnostranný trojúhelník, každá strana… … nakreslím to lépe… Každá strana je délky 's'. A budu si všímat dvou věcí, budu si všímat stran trojúhelníku, tak jak se bude měnit ve vločku, budu si všímat počtu stran, a budu si všímat obsahu, po každém přidání trojúhelníčků. Tohle bude náš měřák obsahu. … asi na to budu potřebovat více místa, mám takové tušení, že to budu potřebovat. Tady budeme počítat strany a tady budeme počítat obsah. Když začínáme, máme 3 strany, A náš obsah, jak víme z minula, bude, za předpokladu že strany jsou délky 's'… … bude odmocnina ze tří, krát 's na druhou', lomeno 4. Dobrá, to je jednoduchý rovnostranný trojúhelník. Teď vezmeme každou stranu, rozdělíme na 3, a pak uprostřed sestrojíme malý rovnostranný trojúhelník. Takže to bude vypadat nějak takto. Přemýšlejte nad tím, co se děje na každé straně. Než jsem to udělal, byla to jen jedna strana, pak jsem ji rozdělil na tři a v té prostřední… … tam jsem vložil dvě strany. … rovnostranný trojúhelník. Takže z jedné strany se staly dvě. 1, 2, 3, 4 strany. Takže v každém kroku, kdy děláme vločku složitější, Z každé jedné strany se staly čtyři. Takže si představte, když to uděláme na všech třech stranách, máme teď 4 krát 3, což je 12 stran. Takže když tohle vynásobíte 4, to nám dává 12. Můžeme si to přepočítát, ujistit se, že na to jdeme správně. 1, 2, 3,… 12 stran. A jaký je teď obsah? Jaký bude obsah našeho původního žlutého trojúhelníku, plus obsahy každého tohoto menšího? Jaký je obsah každého menšího? Nejdříve víme, že jsou 3. Máme 3 malé trojúhelníky. A znovu použijeme vzorec pro rovnostranný trojúhelník. Bude to odmocnina ze 3 krát 's na druhou'… … ale teď je délka každé strany… … těchto malých rovnostranných trojúhelníků… … už to není 's', je to 's' lomeno 3. Pamatujte, tato délka zde je 's' lomeno 3, takže tohle také bude 's' lomeno 3. V každém kroku, strana trojúhelníku bude třetina strany v předchozím kroku. Tohle už nebude 's' na druhou, bude to 's lomeno 3' na druhou, a to celé lomeno 4. Pak uděláme další krok… Přidám sem tyto trojúhelníky, pak tyto přidám sem… … a to je poslední krok, kdy se budu snažit sem nakreslit všechny… Nejprve, kolik budu mít stran po dalším kroku? V minulém kroku jsem měl 12 stran, každá z těchto 12 stran se stane 4 novými stranami, když sem přidám tyto výběžky. Takže to znovu vynásobím 4. Takže teď budu mít 48 stran. Budu mít 48 stran. A kolik nových trojúhelníků? Jaký je obsah této žluté oblasti plus této modré plus této oranžové? Kolik nových oranžových trojúhelníků mám? Přidávám nový trojúhelník na každou stranu předchozího kroku. V minulém kroku jsem měl 12 stran, takže přidám 12 oranžových trojúhelníků. Přidám 12 oranžových trojúhelníků. Vlastně si to napišme… … napíšu 12 oranžových trojúhelníků. Ale ve skutečnosti jsem to vynásobil 4. Pak budu mít krát odmocnina ze 3… … teď už to nebude 's' lomeno 3, teď to bude 's' lomeno 9. Tyhle mají třetinový rozměr oproti modrým trojúhelníkům. Takže to bude 's' lomeno 9. … ('s' lomeno 9) na druhou, lomeno 4. A asi už v tom vidíte nějaký vzorec. Pokud uděláme další krok… … posunu to doprava… jak by to vypadalo? … udělám to barvou, kterou jsem ještě nepoužil… … touhle růžovou… Takže teď budeme mít… Budu mít předchozí počet stran, to je počet nových trojúhelníků, … 48 krát odmocnina ze 3, krát 's' lomeno… … teď to bude třetina tohoto… … ('s' lomeno 27) na druhou, to celé lomeno 4. A budu přidávat takto nekonečně mnohokrát, abych získal obsah Kochovy vločky. Takže jen budu dělat tohle pořád dokola. Trik je v tom, najít tento součet nekonečné řady. A uvidíme, jestli z toho získáme konečné číslo. Nejprve bych to rád zjednodušil… Jen to trochu přepíšu… Přepíšu to trochu jinak… První věc, která je na první pohled jasná, můžeme vytknout odmocninu ze 3 krát 's na druhou', lomeno 4. Tak to tedy vytkněme… Vytkneme-li odmocninu ze 3 krát 's na druhou', lomeno 4. ze všech výrazů, pak tento výraz bude 1, Tento výraz bude 3… … podívejme, vytknuli jsme odmocninu ze 3, 's na druhou' a 4. … takže to bude plus 3 krát (jedna třetina na druhou). To je vše co zbylo. Zbyla třetina na druhou a tato 3. A zjednodušuji to úmyslně, abychom viděli vzorec. A pak tento vzorec… … takže tato 12 tu zůstane, ale napíšu ji jako 3 krát 4. Pak jsme si vytknuli odmocninu ze 3, čtyřku a 's' na druhou. Takže nám zbyde 3 na druhou, to je to co nám tu zbyde… na druhou. Takže to je 1 lomeno (3 na druhou), to celé na druhou. To nám zbylo z oranžového vzorce. A pak tu máme růžový vzorec. Tento růžový vzorec… 48 je jen 3 krát 4 krát 4. 3 krát… napíšu (4 na druhou), protože pokaždé násobíme 4, takže pak to bude 4 na třetí… Protože v každé iteraci se z každé strany stanou čtyři strany. Odtud vítr vane. Vytknuli jsme odmocninu ze 3, čtyřku, 's' na druhou. A zbylo nám 1 lomeno (3 na třetí), to celé na druhou. … krát 1 lomeno (3 na třetí), to celé na druhou. A takto to budeme dělat donekonečna. … donekonečna. V každém kroku zvyšujeme… … násobíme 4 … … mocnina té 4 se zvyšuje… … jde od 4 na nultou, což je jedna. Můžete si to tak představit. … tady máme 4 na prvou, 4 na druhou, tam by bylo 4 na třetí… Pak máme tuto mocninu, ta se také zvyšuje… … 3 na prvou, 3 na druhou, 3 na třetí… Vidíme, že tato mocnina bude vždy o jednu vyšší než tato. A bylo by mnohem snadnější spočítat tuto nekonečnou… … stane se z ní geometrická řada… … kdyby ty mocniny byly stejné. Takže chci zvýšit mocninu 4 u každého výrazu, ale nemůžu jen tak lážo-plážo vynásobit všechno 4. Pokud bych chtěl všechno vynásobit 4, musím to také vše vydělit 4. Takže v tomto kroku udělám to, že vynásobím a vydělím vše 4. Takže pokud to vše vydělím 4, můžu to udělat venku… vynásobím to tu jednou čtvrtinou… Takže tady to dělím 4 a chci to i vynásobit 4. Takže nebudu nijak měnit hodnotu výrazu. Takže tohle bude 4 plus 3 krát 4… … 3 krát 4… … plus 3 krát (4 na druhou)… … 4 na třetí… A co je teď krásné, tak že mocniny 4 a 3 jsou teď stejné. Ale stále je to divné, neboť bereme třetinu na druhou a pak na druhou. … tady třetinu na třetí a pak na druhou. A tady si uvědomíme… Tohle bude vždy na druhou a tohle se zvyšuje… Obecně, pokud mám 1 lomeno (3 na 'n') a to na druhou, To se rovná 1 lomeno (3 na '2n')… … takže to jen násobím 2, že? Pokud něco mocním a to pak také, to je jen násobení… A to je to samé jako 1 lomeno (3 na druhou), to celé na 'n'. Takže vlastně můžeme beztrestně přehodit tyto exponenty… A tak všechno přepišme, protože toho chci v jednom kroku moc. Tohle nám dává odmocninu ze 3 krát 's na druhou', lomeno 16, krát … … napíšu sem závorky… Máme 4 plus… … pak modrou napíšu 3 krát 4 na prvou, A pak můžu napsat… … můžu to přepsat na jedna třetina… … můžeme se na to dívat jako na třetinu na druhou… … můžeme to brát jako1 lomeno 3 na prvou, to celé na druhou… … nebo jako na 1 lomeno (3 na druhou), to na prvou. A tak to napíšu. Takže krát jedna devítina na prvou… A pak plus 3 krát (4 na druhou)… … a tohle můžeme napsat jako jedna devítina na druhou… … a tohle jako plus 3 krát (4 na třetí) krát … … tohle bychom mohli napsat jako jedna lomeno 27 na druhou, ale na základě toho co jsme viděli tady… jako 1 lomeno (3 na druhou), to celé na 3. Ujasním to… 1 lomeno (3 na třetí), to celé na druhou. To je stejné jako 1 lomeno (3 na druhou), to celé na třetí. To je to co jsme tu ukázali. Takže to je stejné jako devítina na třetí. Teď už tu vidíme vzorec A udělejme poslední krok, zbytek doděláme v dalším videu. To je odmocnina ze 3, krát 's na druhou', lomeno 16 krát … … 4, plus 3 krát (čtyři devítiny), plus … další výraz je 3 krát (čtyři devítiny na druhou)… … a pak máme plus 3 krát (čtyři devítiny na třetí)… A pak budeme jen pokračovat dál a dál… … sčítat 3 krát čtyři devítiny na čím dál tím větší číslo. Takže musíme zjistit součet tohoto, abychom zjistili náš obsah… A to uděláme v dalším videu. Použijeme některé nástroje, které jsme použili při hledání geometrických řad. Zopakujeme si je v příštím videu, abyste si nemuseli pamatovat vzorec nebo důkaz.