Obsah Kochovy vločky (část 2) - pokročilé Pomocí znalosti součtu nekonečné geometrické řady dokončíme výpočet konečného obsahu Kochovy vločky.

V minulém videu jsme se dostali k tomu, že obsah Kochovy vločky, což je objekt s nekonečným obvodem, může být vyjádřen pomocí nekonečné řady. Náš úkol v tomto videu bude zjednodušit to a snad tím získáme i konečnou hodnotu. Pojďme zkusit zjednodušit tento vzorec. Nejjednodušší částí na zjednodušení je tato část. Zaměřme se tedy na to. A pokud se nám podaří získat hodnotu toho, co právě uzávorkovávám, pak můžeme tu hodnotu dosadit zde a zjednodušit zbytek. To co jsem právě uzávorkoval může být přepsáno jako: 3 krát (čtyři devítiny plus (čtyři devítiny na druhou) … … plus (čtyři devítiny na třetí) plus… ). A můžete pokračovat dál a dál. … plus (čtyři devítiny na další čísla), až do nekonečna. Naštěstí pro nás existuje způsob, jak spočítat nekonečnou geometrickou řadu. Je způsob jak na to přijít, mám pocit, že jsem udělal několik videí, kde dokazuji tu základní věc. Teď to udělám ručně, abychom se nemuseli uchylovat k nějakým kouzelným vzorcům. Řekněme, že definujeme nějakou sumu. Tuhle sumu. Pojmenujme ji 'S'. Řekněme, že 'S' se rovná tady tomuto v závorkách. Bude to rovno 4 lomeno 9, plus (4 lomeno 9) na druhou, plus (4 lomeno 9) na třetí a tak dále do nekonečna. Řekněme, že vynásobíme 'S' čtyřmi devítinami. … budu potřebovat trochu místa… Jak bude vypadat čtyři devítiny krát 'S'? Pak vlastně násobím každý člen čtyřmi devítinami. Vezmu-li tento první člen a vynásobím jej čtyřmi devítinami, co dostanu? Dostanu (4 lomeno 9) na druhou. Vezmu-li druhý člen a vynásobím jej, dostanu (4 lomeno 9) na třetí. A takto až do nekonečna. To je zajímavé… Když to celé násobím čtyřmi devítinami, získám všechny členy až na ten první. A to je takové kouzlo, díky kterému získáme součet geometrické řady. Můžeme odečíst tyto členy, tento růžový řádek od toho zeleného. Pokud to uděláme… Zcela jasně se tohle rovná tomuto a tohle tomuto, takže je to jako když odečteme růžové od zeleného. Dostaneme 'S' minus čtyři devítiny 'S' je rovno… Všechny členy… Toto se pokrátí s tímto, toto s tímto… … a takto až do nekonečna. Na pravé straně zůstane jen (4 lomeno 9). A tyto čtyři devítiny… 'S' je stejné jako devět devítin 'S', minus čtyři devítiny 'S' je rovno čtyřem devítinám. (9 lomeno 9) minus (4 lomeno 9) nám dá (5 lomeno 9). Takže to bude pět devítin 'S' je rovno čtyřem devítinám. A pak pro vypočítání 'S'… … je to trochu magické, ale logické… … vynásobíme obě strany devíti pětinami. Abychom izolovali 'S'. Toto se vykrátí a dostaneme 'S' se rovná čtyřem pětinám. To je hezké! Právě jsme si ukázali, že tohle celé je rovno čtyřem pětinám. Tato celá závorka zde je rovna 3 krát (4 lomeno 5). Celá závorka je rovna (12 lomeno 5). Nyní se vraťme k původnímu výrazu, ať nezapomeneme na to, co děláme. Máme odmocninu ze 3, krát 's na druhou', lomeno 16. Pak tu máme 4, plus… … tohle celé se zkrátilo na dvanáct pětin… … plus (12 lomeno 5). Abychom sečetli tyto dva, přepíšeme 4 na (20 lomeno 5). Pak (20 lomeno 5) plus (12 lomeno 5) je (32 lomeno 5). Napíšu to tady dole. Celé to bude (32 lomeno 5). Už jsme v cílové rovince, to je velmi vzrušující! Chystáme se najít konečný obsah něčeho, co má nekonečný obvod! Takže to bude… jen to přepíšu, nechci to samým vzrušením pokazit… odmocnina ze 3, krát 's na druhou', lomeno 16, krát (32 lomeno 5). Můžeme zkrátit čitatel i jmenovatel 16. 32 děleno 16 je 2, 16 děleno 16 je 1. A zůstalo nám… a tady potřebujeme fanfáry… … obsah Kochovy vločky, kde původní trojúhelník má všechny strany délky 's' je… udělám to fialově… 2 krát odmocnina ze 3, krát 's na druhou', to celé lomeno 5. Takže například, kdyby ten původní trojúhelník měl délku strany 1, pak obsah této šílené věci, která má nekonečný obvod, bude pouze 2 krát odmocnina ze 3 lomeno 5. Každopádně si myslím, že je to cool.