Obvod, obsah, objem II
Přihlásit se
Obvod, obsah, objem II (15/16) · 11:00

Důkaz Heronova vzorce (část 1) Ze znalosti vzorečku pro výpočet obsahu trojúhelníku a Pythagorovy věty dokážeme platnost Heronova vzorce.

Navazuje na Objem a povrch.
Řekněme, že mám trojúhelník. Tady tohle je můj trojúhelník. A znám pouze délky stran trojúhelníku. Tato strana je délky 'a', tato je délky 'b' a tato strana je délky 'c'. Mým úkolem je zjistit obsah trojúhelníku. Doposud jsem byl vybaven jen tím, že obsah trojúhelníku je roven polovině základny trojúhelníku krát vyška toho trojúhelníku. Tím jak jsem nakreslil ten trojúhelník, základnou by byla strana 'c', ale výšku neznáme. Výška by byla tohle 'h', ale my nevíme, jaké je 'h'. Tohle by bylo 'h'. Otázkou je, jak zjistíme obsah tohoto trojúhelníku? Pokud jste viděli minulé video, víte, že pomocí Heronova vzorce. Ale smyslem je pokusit se dokázat Heronův vzorec. Pokusme se zjistit 'h' pomocí Pythagorovy věty. A poté, jakmile budeme znát 'h', můžeme použít tento vzorec a zjistit obsah tohoto trojúhelníku. Tohle jsme si už označili jako 'h'. Definujme si novou proměnnou. Tohle je trik, který v geometrii uvidíte poměrně často. Definujme tohle jako 'x' a pokud je 'x' fialově, pak touto modro-fialovou bude 'c minus x', že? Celá délka je 'c', celá základna je 'c'. Takže pokud je tohle 'x', pak tohle je 'c minus x'. A co teď mohu udělat, protože tohle jsou oba pravé úhly, a to vím, protože tohle je výška, mohu napsat dvě rovnice z Pythagorovy věty. Nejdříve můžu udělat to nalevo a mohu napsat, 'x' na druhou plus 'h' na druhou je rovno 'a' na druhou. Toto dostanu z trojúhelníku nalevo. Pak z trojúhelníku napravo dostanu, 'c minus x' na druhou plus 'h' na druhou je rovno 'b' na druhou. Předpokládám, že znám 'a', 'b' a 'c', takže mám dvě rovnice o dvou neznámých. Neznámé jsou 'x' a 'h'. Pamatujte, 'h' se snažíme zjistit, protože už známe 'c'. Až budeme znát 'h', použijeme vzorec na obsah. Takže jak na to? Dosaďme za 'h', abychom zjistili 'x'. A tím myslím, abychom zde vyjádřili 'h' na druhou. Pokud si vyjádříme 'h' na druhou, odečteme 'x' na druhou od obou stran, můžeme napsat, že 'x' na druhou… Omlouvám se, 'h' na druhou je rovno 'a' na druhou minus 'x' na druhou. Pak ten výraz vezmeme a dosadíme sem za 'h' na druhou. Takže tato dolní rovnice bude 'c minus x' na druhou plus 'h' na druhou. 'h' na druhou víme z této rovnice nalevo… … 'h' na druhou bude rovno… … takže plus… … udělám to touto barvou… … 'a' na druhou minus 'x' na druhou je rovno 'b' na druhou. Jen jsem dosadil hodnotu tohoto sem. Hodnotu tohoto tam. Zbavme se závorky. ('c minus x') na druhou, to je 'c' na druhou minus 2 krát 'cx' plus 'x' na druhou. Pak tu máme minus… Omlouvám se, máme plus 'a' na druhou minus 'x' na druhou je rovno 'b' na druhou. Máme 'x' na druhou a minus 'x' na druhou, takže to se odečte, Přičtěme 2 krát 'cx' k oběma stranám rovnice. Naše rovnice bude 'c' na druhou plus 'a' na druhou… Přičítám 2 krát 'cx' k oběma stranám. Takže, když to tady přičtete, dostanete nulu. … je rovno 'b' na druhou plus 2 krát 'cx'. Jen jsem vyrušil 'x' na druhou a přičetl 2 krát 'cx' k oběma stranám. Cílem je zjistit 'x'. Jakmile zjistím 'x', můžu zjistit 'h' a použít tento vzorec. Abychom zjistili 'x', odečtěme 'b' na druhou od obou stran. Dostaneme 'c' na druhou plus 'a' na druhou minus 'b' na druhou je rovno 2 krát 'cx'. A vydělíme-li obě strany (2 krát 'c'), dostaneme ('c' na druhou plus 'a' na druhou minus 'b' na druhou) lomeno 2 'c' je rovno 'x'. Právě jsme vyjádřili 'x'. Teď chceme zjistit výšku, abychom použili vzorec polovina krát základna krát výška. Abychom to udělali, vrátíme se k této rovnici a vyjádříme si výšku. Jen se posunu trochu dolů. Víme, že výška na druhou je rovna 'a' na druhou minus 'x' na druhou. Místo psaní 'x' na druhou dosaďme si. Takže je to minus 'x' na druhou. 'x' je tento výraz zde. Takže 'c' na druhou plus 'a' na druhou minus 'b' na druhou, to celé lomeno 2 'c', na druhou. To je stejné jako 'x' na druhou. Právě jsme si to vyjádřili. Takže 'h' bude rovno odmocnině celého tohoto výrazu. Změním barvu. 'a' na druhou minus ('c' na druhou plus 'a' na druhou minus 'b' na druhou)… … to celé na druhou. Udělám to trochu úhledněji, protože nechci, aby… Odmocnina z… … ujistím se, že mám dost místa… … 'a' na druhou minus celé toto na druhou. 'c' na druhou plus 'a' na druhou minus 'b' na druhou, to celé lomeno 2 'c'. To je výška našeho trojúhelníku. Trojúhelníku, se kterým jsme začali tady nahoře. Zkopíruji to a vložím, abychom si pamatovali, s čím pracujeme. Zkopíruji a vložím sem dolů. Vložil jsem to sem dolů. Známe výšku, je to tento komplikovaný výraz. Výška vyjádřena pomocí 'a', 'b' a 'c' je celé toto zde. Takže pokud bychom chtěli zjistit obsah, obsah našeho trojúhelníku. Udělám to růžově. Obsah našeho trojúhelníku bude polovina krát základna, základna je celá délka 'c'. … krát 'c' krát naše výška, což je tento výraz zde. Zkopíruji to a vložím místo abych… Zkopíruji a vložím. Takže krát výška. Takže tohle je teď náš výraz pro obsah. Teď okamžítě říkáte: „Vždyť to vůbec nevypadá jako Heronův vzorec.“ A máte pravdu. Nevypadá to jako Heronův vzorec, ale co vám ukážu v příštím videu, tak že to v podstatě je Heronův vzorec. Tohle je na zapamatování obtížnější verze Heronova vzorce. Použiji hodně algebry ke zjednodušení na Heronův vzorec. Ale funguje to. Zapamatujete-li si to. Myslím, že Heron je mnohem snazší na pamatování. Ale pokud si to zapamatujete a budete znát jen 'a', 'b' a 'c', použijete tento vzorec a získáte obsah trojúhelníku. Vlastně, použijme ten vzorec, abychom ukázali, že to alespoň dá stejné číslo jako Heronův vzorec. V minulém videu jsme měli trojúhelník se stranami 9, 11 a 16 a jeho obsah byl, s použitím Herona, 18 krát odmocnina ze 7. Podívejme se, co dostaneme, použijeme-li tento vzorec. Dostaneme, že obsah je roven polovina krát 16 krát odmocnina z… 'a' na druhou, to je 81, minus… Podívejme, 'c' na druhou, to je 256… 256 plus 'a' na druhou, to je 81, takže plus 81 minus 'b' na druhou, takže minus 121. Všechno tohle je na druhou. To celé je lomeno 2 krát 'c', takže celé lomeno 32. Podívejme se, zda to dokážeme trochu zjednodušit. 81 minus 121, to je -40. Takže to bude 216 lomeno 32. Takže obsah je roven polovina krát 16 je 8. Změním barvy. Polovina krát 16 je 8 krát odmocnina z 81 minus… … 256… 81 minus 121, to je -40. 256 minus 40 je 216. 216 lomeno 32, to celé na druhou. Tohle je až moc matematiky, takže si vytáhnu kalkulačku. Vlastně se jen snažím ukázat, že tyto dvě čísla by měla být stejná. Takže pokud zapneme kalkulačku. Nejdříve, 18 krát odmocnina ze 7. 18 krát odmocnina ze 7, to jsme dostali s použitím Herona. Dostali jsme 47,62. Uvidíme, jestli je i tohle 47,62. Máme 8 krát odmocnina z (81 minus [(216 lomeno 32) na druhou]). A dostali jsme úplně stejné číslo. Nepočítal jsem to dopředu, mohl jsem udělat chybu z nepozornosti. Ale tady to máte, stejné číslo. Takže náš vzorec nám dal úplně stejnou hodnotu jako Heronův vzorec. Ale v příštím videu vám dokážu, že tohle se dá algebraicky upravit na Heronův vzorec.
video