Důkaz Heronova vzorce (část 2) Ze znalosti vzorečku pro výpočet obsahu trojúhelníku a Pythagorovy věty dokážeme platnost Heronova vzorce.

V minulém videu jsem tvrdil, že výsledek, který jsme získali pro obsah trojúhelníku, který má strany délek 'a', 'b' a 'c', je roven Heronově vzorci. V tomto videu vám chci ukázat, že je to rovno Heronově vzorci, pomocí algebraických úprav. Takže nejprve, co chceme udělat… Dostaňme polovinu 'c' pod odmocninu. Polovina krát 'c' je to samé jako odmocnina z ('c' na druhou lomeno 4). Odmocníte toto, dostanete polovinu 'c'. Takže celý tento výraz je roven, místo znaménka pro odmocninu napíšeme odmocnina z… … 'c' na druhou lomeno 4, krát tohle všechno. Zkopíruji to a vložím. Zkopíruji to a vložím. Takže krát tohle všechno. Samozřejmě platí distributivita. Takže 'c' na druhou lomeno 4, krát tohle všechno. Uzavřeme odmocninu. Roznásobím to tím 'c' na druhou lomeno 4. Bude to rovno odmocnině… Bude to hrozné, ale myslím, že vás to uspokojí, až uvidíte, jak se to změní na něco tak jednoduchého jako je Heronův vzorec. Odmocnina z… 'c' na druhou lomeno 4 krát 'a' na druhou je 'c' na druhou krát 'a' na druhou lomeno 4. Minus 'c' na druhou lomeno 4. Jen to roznásobuji. A napíšu to jako čitatel na druhou lomeno jmenovatel na druhou. Tedy krát 'c' na druhou plus 'a' na druhou minus 'b' na druhou, to celé na druhou. Lomeno… umocním-li jmenovatel na druhou, pak je to 4 krát ('c' na druhou). A okamžitě vidíme, že tohle a tohle 'c' na druhou se vykrátí. Uzavřu všechny závorky. A samozřejmě, tohle 4 krát 4, to bude… Napíšu to takto. To je stejné jako 4 na druhou. A místo toho abych psal 16… Uvidíte, proč to píšu takto. Teď můžu tohle přepsat jako… Tohle bude rovno odmocnině… … náhodně měním barvy… … ('ca' lomeno 2) na druhou. To je to samé jako tohle, že? Jen to píšu jako něco na druhou. Kdybych to umocnil, je to 'ca' na druhou lomeno 2 na druhou - lomeno 4. Minus… napíšu to jako nějaký výraz na druhou. Je to 'c' na druhou plus 'a' na druhou minus 'b' na druhou lomeno 4. A umocňujeme čitatel i jmenovatel. Tohle pro vás může vypadat zajímavě. Udělám závorky v trochu odlišné barvě. Můžete si vzpomenout z rozkladů polynomů na součin, že mám-li něco ve tvaru 'x' na druhou minus 'y' na druhou, tak se to rozloží na součin ('x' plus 'y') krát ('x' minus 'y'). A to budeme používat stále dokola. Nazvete-li ('ca' lomeno 2) jako 'x' a celý tento výraz jako 'y', máme 'x' na druhou minus 'y' na druhou. Rozložme to na součin. Takže tohle celé se bude rovnat odmocnině z ('x' plus 'y'), v tomto případě 'ca' lomeno 2 plus 'y', což je 'c' na druhou plus 'a' na druhou minus 'b' na druhou lomeno 4, krát ('x' minus 'y'). Tohle je naše 'x'. 'ca' lomeno 2 minus celý tento výraz zde. Nebo lépe, řeknu plus a napíšu to jako záporné. Takže plus -'c' na druhou minus 'a' na druhou plus 'b' na druhou. To celé lomeno 4. Teď jsem jen řekl, že tohle je stejné jako (toto plus toto) krát (toto minus toto). Tady jsem řekl plus záporné tohle. Takže minus 'c' na druhou minus 'a' na druhou plus 'b' na druhou. Udělal jsem jen tohle. Teď se podívejme, zda-li to lze zjednodušit. Nebo jestli zvládneme sečíst tyto zlomky. Můžeme získat společný jmenovatel. 'ca' lomeno dvěma je stejné jako 2 'ca' lomeno 4. 'ca' lomeno dvěma je stejné jako 2 'ca' lomeno 4. Jen násobím čitatel i jmenovatel 2. A teď můžeme sečíst čitatele. Takže celý náš výraz bude roven odmocnině z… První výraz bude… a napíšu to takto. Napíšu 'c' na druhou plus 2 'ca' plus 'a' na druhou minus 'b' na druhou, to celé lomeno 4. To je náš první výraz. A náš druhý výraz bude… Celé to bude lomeno 4, takže to napíšu rovnou. To celé lomeno 4. Můžeme to napsat jako 'b' na druhou minus ('c' na druhou minus 2 'ca' plus 'a' na druhou). Jen se ujistím, mám minus 'a' na druhou tady. Plus krát (-1), stále je to minus 'a' na druhou. Mám plus 2 'ca' zde. Minus krát minus, to je plus 2 'ca'. Mám minus 'c' na druhou zde. A mám minus 'c' na druhou zde. Takže tyto dva výrazy jsou si rovny. Další věc kterou musíme rozpoznat, nebo spíš snad rozpoznáme, že tento výraz zde… … teď to může být trochu nepřehledné… … je stejný jako ('c' plus 'a') na druhou. Napíšu to. To je rovno odmocnině z… Tohle je ('c' plus 'a') na druhou minus 'b' na druhou, to celé lomeno 4. To je první výraz. Teď druhý výraz. Tohle zde je stejné jako ('c' minus 'a') na druhou. Takže se to zjednoduší na 'b' na druhou minus ('c' minus 'a') na druhou, to celé lomeno 4. Takže postupujeme vpřed. Jak jsem říkal, je to děsná úloha. Ale vidíme krásné využití rozkladu polynomů na součin a vidíme, jak se zdánlivě otřesný výraz může změnit na mnohem snazší. Teď využijeme té samé vlastnosti, máme tu vzor, něco na druhou minus něco jiného na druhou. Takže to rozložíme na součin na jeden řádek. Takže to bude rovno… Napíšu to menší, aby mi nedošlo místo. … odmocnině. To se rozloží na tohle plus tohle. Takže 'c' plus 'a' plus 'b' krát 'c' plus 'a' minus 'b', že? Je to stejný postup jako jsem dělal zde. Tohle je 'x' na druhou, tohle 'y' na druhou. Takže 'c' plus 'a' minus 'b', to celé lomeno 4. A pak tu máme tento. To bude 'b' plus 'c' minus 'a'… Posunu se trochu doprava. … krát 'b' plus 'c' minus 'a', to je 'x' plus 'y' krát ['b' minus ('c' minus 'a')]. To je stejné jako 'b' minus 'c' plus 'a'. To je 'b' minus ('c' minus 'a'), že? Dobrá. A to celé lomeno 4. Teď můžu přepsat celý výraz. Nechci se připravit o prostor. To celé mohu přepsat jako… 4 je součin 2 krát 2. Celý výraz pro obsah byl právě, pravděpodobně, zjednodušen na… Je roven odmocnině… … a to je vlastně cílová rovinka… … tohoto zde, což můžu přepsat jako ('a' plus 'b' plus 'c') lomeno 2. To je tento výraz. Krát tento výraz. Krát tento výraz. A zjednoduším to. 'c' plus 'a' minus 'b' je to stejné jako 'a' plus 'b' plus 'c' minus 2 'b'. Tyto výrazy jsou stejné, že? Máte 'a', máte 'c' a pak 'b' minus 2 'b' je rovno minus 'b'. Že? 'b' minus 2 'b' je rovno minus 'b'. Takže tento výraz bude 'a' plus 'b' plus 'c' minus 2 'b', lomeno 2. Nebo místo toho napíšu tohle lomeno 2 minus tohle lomeno 2. A pak náš další výraz zde. Stejný postup. To je stejné jako 'a' plus 'b' plus 'c' minus 2 'a', to celé lomeno 2, že? Přičteme-li -2 'a' k 'a', dostaneme minus 'a'. Dostaneme 'b' plus 'c' minus 'a'. To jsou stejné výrazy. Takže to celé lomeno 2, nebo můžeme rozdělit čitatel, přesně takto… lomeno 2. A pak poslední výraz. A už můžete rozpoznávat Heronovo pravidlo. Ne Heronovo pravidlo, ale Heronův vzorec. Ten výraz zde je stejný jako 'a' plus 'b' plus 'c' minus 2 'c', že? Odečtete 2 'c' od 'c', dostanete minus 'c', pak vám zbyde 'a' a 'b'. A to celé lomeno 2. Můžete napsat tohle lomeno 2 minus tamto lomeno 2. A samozřejmě to celé pod druhou odmocninou. Teď pokud zadefinujeme 'S' rovno 'a' plus 'b' plus 'c' lomeno 2, pak se výraz opět velmi zjednoduší. Tohle je 'S'. Támhle to je 'S'. Támhle to je 'S'. A tohle je 'S'. A tohle se také mnohem zjednoduší. Minus 2 'b' lomeno 2, to bude stejné jako minus 'b'. Minus 2 'a' lomeno 2, to bude stejné jako minus 'a'. Minus 2 'c' lomeno 2, to bude stejné jako minus 'c'. Celý náš vzorec pro obsah bude roven… Jen přepíšu odmocninu. Odmocnina z 'S'… To je tohle zde. Udělám to stejnou barvou. … krát ('S' minus 'b') krát ('S' minus 'a') krát… a jsme na konci… ('S' minus 'c'). A dokázali jsme, že Heronův vzorec je stejný jako to, co jsme ukázali na konci minulého videa. Takže to bylo docela hezké. Jen jsme museli dělat algebraické úpravy, abychom to dokázali.