Obvod, obsah, objem II
Přihlásit se
Obvod, obsah, objem II (6/16) · 4:36

Plochy diagonálami vytvořených trojúhelníků v obdélníku jsou stejné I přestože se to na první pohled může zdát podivné, pokud rozdělím obdélník úhlopříčkami, vzniknou mi čtyři trojúhelníky o stejném obsahu.

Navazuje na Objem a povrch.
Řekněme, že máme obdélník a jeho dvě úhlopříčky uvnitř obdélníku - zde je jedna z nich a tady máme druhou úhlopříčku. Tento obdélník má výšku 'h', tedy vzdálenost sem je 'h'. A dále máme šířku 'w'. V tomto videu si ukážeme, že všechny čtyři tyto trojúhelníky mají stejný obsah. Když se na to podíváme, je docela zřejmé, že tento spodní trojúhleník má stejný obsah jako horní trojúhelník, tento převrácený vzhůru nohama. Že tyto dva trojúhelníky mají také stejný obsah je zřejmé, mají stejně velké základny, tuto šířku, a díky této vzdálenosti mají stejnou výšku. Přímo zde je přesná polovina výšky obdélníku. Jsou symetrické, jsou to stejné trojúhelníky Mají stejné rozměry. Také je zřejmé, že tento trojúhelník vlevo má stejný obsah jako trojúhleník vpravo. To je snad jasné. Co ale tak zřejmé není, že tyto oranžové trojúhelníky mají stejný obsah jako ty modré. A to si teď ukážeme. Musíme tedy spočítat obsahy různých trojúhelníků. Začněme těmi oranžovými. Než to uděláme, připomeňme si, jak se obsah trojúhelníku spočítá. Obsah trojúhelníku je roven 1/2 základny trojúhelníku krát výška trojúhelníku. To jsou základy geometrie. S tím, co bylo řečeno, vyřešme nyní obsah oranžového trojúhelníku. Je to tedy 1/2 krát základna. Základna oranžového trojúhelníku je vzdálenost zde: strana 'w'. Tedy 1/2 krát 'w' Vezmu si jinou barvu... A co je v tomto případě výška? Jaká je výška? Už jsme o tom mluvili, je to přesně polovina z výšky obdélníku. Kolik to tedy bude? Máme 1/2 krát 1/2, tedy 1/4 krát šířka krát výška. Tedy plocha toho trojúhelníku je 1/4 šířky krát výška. To je jeden trojúhelník. Naprosto stejný výraz, mají stejný obsah. Nyní se ptáme, jaký je obsah zelených, nebo zelenomodrých trojúhelníku? Ještě jednou -- napíšu to zeleně -- obsah je roven polovině základny. Takže se nám prohodily strany. Nejlepší bude vybrat si jako základnu tuto vzdálenost. U tohoto trojúhelníku je to tato vzdálenost, Je to výška obdélníku,v tomto případě je základnou výška obdélníku. Nechci nikoho zmást. A co je v tomto trojúhelníku výška? Tedy u těchto trojúhelníků na boku, jaká je tato vzdálenost? Je to přesně polovina šířky. Uděláme přesnou polovinu této vzdálenosti. Tento bod je přesně v polovině mezi těmito dvěma stranami a mezi těmito stranami. Takže vzdálenost je zde polovina šířky. Výška těchto bočních trojúhelníku je tedy polovina šířky (obdélníku). Takže výška zde je polovina šířky 'w'. Trošku zmatené: Základna je rovna výšce obdélníku, a výška je rovna polovině šířky. Ale použijeme trochu matematiky, obsah je roven 1/2 krát 1/2, což je 1/4 výšky krát šířka. Nebo můžeme napsat 1/4 šířky krát výška, což je úplně stejná plocha. Plocha zde je tedy 1/4 šířky krát výška, což je stejné jako plocha každého z oranžových trojúhelníků. A dává to smysl, protože každý z nich je přesně 1/4 plochy obdélníku. Snad jste si to užili.
video