Čtyřúhelníky
Přihlásit se
Čtyřúhelníky (9/10) · 5:08

Může takový čtyřúhelník existovat? V této úvaze nás zajímá, jestli může existovat čtyřúhelník velmi specificky zadaných shodných úhlů.

Navazuje na Kuželosečky.
... Dostala se ke mně zajímavá otázka od inženýrů tady na Khan Academy, když se zabývali programováním. Existují nějaké čtyřúhelníky... A já jsem si jeden náhodný zrovna nakreslil, čtyřúhelník ABCD. Existuje čtyřúhelník, jehož úhlopříčky... Přikreslím je, první se jmenuje BD a pak druhá, kterou nakreslím sem, je AC. Jejich průsečík si označím třeba E. Existuje čtyřúhelník, ve kterém je úhel AEB shodný s úhlem ECB? ... ... Nechám vás o tom chvíli popřemýšlet. Existují čtyřúhelníky, pro které jsou tyto dva úhly shodné? Abychom si to rozmysleli, předpokládejme, že to je pravda. Předpokládejme, že máme čtyřúhelník, kde to opravdu platí. Kde tento úhel AEB je shodný s úhlem ECB. ... To budeme předpokládat úplně od začátku. Nyní se pokusíme na celou situaci pohlédnout jinak. DB je úsečka, která je ale také částí přímky. Takže si ji můžeme takto protáhnout. A nazveme ji přímkou l. Takhle si to nakreslím. Takže toto je moje přímka l. DB je úsečkou na ní ležící. Úsečka CB taky leží na nějaké přímce. Tuto si nazveme přímkou m. Ještě ji přikreslím. Přímka m a CB na ní ležící. A pak tu máme úsečku AC. AC je opět úsečka, která je součástí přímky. Tuhle přímku si nazveme n. Takže si nakreslím přímku n. A vidíme, že protíná přímku l i přímku m. To si tady načrtnu, aby to vypadalo nějak takhle. To je přímka n. Předpokládali jsme, že úhel AEB je shodný s úhlem ECB. No a bod E je přesně tam, kde se 'n' a 'l' protínají. Takže přesně tady je bod E. Bod C je zase průsečík přímek n a m. Takže tohle je C. Proto náš předpoklad, který máme od začátku, vlastně říká, že tento úhel AEB (nakreslím to růžově), AEB je shodný s tímto úhlem. ECB je zase shodný s tímto úhlem. Tyto úhly jsou přesně shodné s těmito. Co nám to říká o přímkách m a l? Jak jsme si je určili, máme přímky l a m a přímka n je k nim různoběžná. Máme proto dva souhlasné úhly, které jsou shodné. Předpokládali jsme to od začátku, že najdeme čtyřúhelník, kde tyto dva úhly jsou shodné. Ale pokud jsou dva souhlasné úhly shodné, musejí tyto dvě přímky být rovnoběžné. To nám říká, že 'm' a 'l' jsou rovnoběžné. 'm' a 'l' jsou rovnoběžné. To znamená, že se nikde neprotnou. Tím se nám objevuje spor. Nechám vás o tom chvíli popřemýšlet. Ten spor, který se objevuje, je, že pokud 'l' a 'm' jsou rovnoběžné, pak každé úsečky na nich budou k sobě taky rovnoběžné. Takže pokud jsou 'l' a 'm' rovnoběžné, to nám říká, že úsečka DB musí být rovnoběžná s úsečkou CB, což znamená, že se nemůžou nikdy protnout. Ale to je spor! Ony se přece protínají. Přesně tady. Takže pokud předpokládáme, že existuje čtyřúhelník, ve kterém jsme dospěli k tomuto sporu, předpoklad musí být nesprávný. Z definice to je čtyřúhelník. Tahle úhlopříčka jím prochází v bodě B, kde se stýká i s touto stranou. Takže se musejí protínat. Tyto dvě nemohou být rovnoběžné, aby to vůbec byl čtyřúhelník. A proto je nemožné, aby byl v jakémkoli čtyřúhelníku tento úhel AEB shodný s úhlem ECB. ...
video