Čtyřúhelníky
Přihlásit se
Čtyřúhelníky (10/10) · 4:38

Úhlopříčky kosočtverce Důkaz, že úhlopříčky kosočtverce jsou navzájem kolmé a vzájemně se půlí.

Navazuje na Kuželosečky.
Ukážu vám, proč jsou úhlopříčky kosočtverce na sebe kolmé. Vzpomeňte si, že kosočtverec je vlastně rovnoběžník se čtyřmi stejně dlouhými stranami. Když jsou všechny strany stejně dlouhé, to už zaručuje, že půjde o rovnoběžník. Na vysvětlenou, některé kosočtverce jsou čtverce, ale ne všechny, jako třeba tento. To se stane, když vnitřní úhly nejsou pravé. Ale všechny čtverce jsou kosočtverce. Jejich úhly jsou pravé, to z nich ale kosočtverce nedělá. Navíc však mají stejně dlouhé strany. Takže všechny čtverce jsou kosočtverce, ale ne všechny kosočtverce jsou čtverce. Podívejme se teď na úhlopříčky kosočtverce, pro názornost nakreslím takový... Načrtnu ten kosočtverec jinak, pootočím jej trochu, aby vypadal jako diamant. Ale pozor, neměním žádné jeho vlastnosti, jenom jím otáčím. Jenom jím rotuju. Kosočtverec má z definice všechny strany stejně dlouhé. Přikreslím jednu uhlopříčku, teď to opravdu vypadá jako diamant. Jedna bude vodorovně, přesně takto. Trojúhelníky v horní a spodní části sdílejí tuto stranu. Takže mají samozřejmě jednu stranu stejné délky. Ty další dvě strany trojúhelníků jsou taky shodné, jedná se přece o kosočtverec. Takže všechny tři strany těch trojúhelníků jsou stejně dlouhé. Proto platí shodnost mezi spodním a horním trojúhelníkem. Vzpomeňte si na matematiku na základní škole a větu SSS - shodnost tří stran zaručuje shodnost trojúhelníků. To znamená, že i vnitřní úhly trojúhelníků jsou shodné. Takže úhel u tohoto vrcholu bude shodný s odpovídajícím úhlem druhého trojúhelníku. Oba úhly protilehlé této straně budou stejné. Zároveň jsou oba trojúhelníky rovnoramenné, takže úhly u základny si budou rovny. Toto je jeden úhel u základny, tohle druhý úhel u základny, tento trojúhelník je "hlavou dolů", kdežto tenhle je správným vrcholem nahoru. Když jsou tedy tyto stejné, i tyhle musí být. Budou si rovny, protože se jedná o rovnoramenný trojúhelník. Zároveň budou rovny i těmto, kvůli shodnosti trojúhelníků. Teď když se podíváme na výšku... Vlastně ne, o tom vůbec nemusíme mluvit, nakonec se to ukáže nepodstatné. Když spustíme výšku z těchto vrcholů k této straně, bude z definice kolmá k této straně. Rovnoramenný trojúhelník je navíc dokonale symetrický. Když spustíme výšku ze shora, z vrcholu nad základnou, rozdělíme trojúhelník na dva symetrické pravoúhlé trojúhelníky. Ty jsou vlastně navzájem zrcadlovými obrazy. Taky se tím rozpůlí protější strana. Když uděláme totéž na druhé straně, stane se nám to samé. Půlíme tuto stranu, tohle bude pravý úhel. Takže v podstatě kombinace těch dvou výšek je úhlopříčkou kosočtverce, která je kolmá na druhou úhlopříčku kosočtverce. A zároveň druhou úhlopříčku půlí. Tentýž argument můžeme použít tady. Mohli bychom si to vzít jako rovnoramenný trojúhelník. To je jeho výška, která opět půlí protilehlou stranu. Každý rovnoramenný trojúhelník s touto stranou shodnou s tamtou, se tímto rozdělí na dva symetrické. Pomocí stejné úvahy je tato strana shodná s touto. Proto jsou úhlopříčky každého kosočtverce navzájem kolmé a vzájemně se půlí. Doufám, že vám to bude užitečné.
video