Analytická geometrie
Přihlásit se
Analytická geometrie (3/9) · 10:21

Určení podobnosti trojúhelníků V zadání máme pravoúhlý trojúhelník o známých stranách. V souřadnicových osách jsou další tři takové trojúhelníky. My musíme zjistit, které jsou tomu původnímu podobné.

Navazuje na Čtyřúhelníky.
Který z trojúhelníků, trojúhelník DEF, GHI a trojúhelník JKL, je podobný trojúhelníku ABC? Máme zde tento trojúhelník ABC, kde je označen jeden z úhlů a uvedena délka dvou stran, které tvoří ten úhel. Možná víte z hodin geometrie, že můžete dokázat podobnost dvou trojúhelníků, když ukážete, že jejich odpovídající si úhly jsou shodné. Řekněme, že se snažíme porovnat tento trojúhelník s tímto. Trojúhelník JKL s trojúhelníkem ABC. Pokud můžete ukázat, že mají dva odpovídající úhly, které jsou shodné, a strany tvořící úhel, poměr mezi stranami z každé strany úhlu je stejný, pak víte, že se jedná o podobné trojúhelníky. Pokud například řekneme, že tento úhel odpovídá tomuto úhlu, a ten je už označen a ukazuje, že jsou shodné, pak tu máme slibný začátek. A pokud budeme moct ukázat, že poměr mezi touto stranou a touto stranou (stranou KL) je stejný jako poměr mezi BA a KJ, pak můžeme říct, že tyto dva trojúhelníky jsou podobné. Teď si řeknete jak se rozhodnu, že chci porovnat BC s KL a BA s KJ? Jde o to, že tyto jsou ty dvě strany, které tvoří tento úhel, a BC je ta kratší z daných dvou stran. Tohle jsou ty dvě strany, které tvoří tento úhel, obě z nich jsou, dá se říct, části polopřímek, které svírají tento úhel, pokud byste pokračovali do nekonečna. A ta modrá je ta kratší z nich, takže je tím nejlepším kandidátem. KL je tím nejlepším kandidátem na to, aby odpovídala BC. Abychom tohle mohli provést, musíme zjistit délky těchto stran. To musíme udělat pro všechny tyto trojúhelníky tady. Nemáme zadány délky stran, ale tyhle věci jsou zobrazeny na souřadnicové rovině. Teď byste mohli použít vzorec pro vzdálenost, ale já bych vás teď zastavil. Vzorec délky je založen na Pythagorově větě a pro nás je tu namalována mřížka, abychom si mohli sestavit pravoúhlý trojúhelník a zjistit, vlastně udělat každou stranu přeponou pravoúhlého trojúhelníku. Takže abychom zjistili délku KJ, mohli bychom si nastavit tento pravoúhlý trojúhelník přesně sem. Výška je 3, tato délka tady, to můžeme spočítat, je to 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 jednotek dlouhé. Pokud bychom nemohli takto počítat, můžeme se podívat a říct jdeme z x rovná se −6 do x rovná se 3, 3 minus −6 se rovná 9. Napíšu to zde. A to je v podstatě odkud vzorec délky vychází, 3 minus −6. Najdete rozdíl v x, umocníte ho na druhou, najdete rozdíl v y, umocníte ho na druhou, a výsledek bude roven délce této přepony na druhou. Pojďme se nad tímto zamyslet, tohle se bude rovnat druhé odmocnině. Tady jen používám Pythagorovu větu. Nazvu to třeba... Pořádně to popíšu, ať si nemyslíte, že tu dělám nějaké voodoo. Takže 3 na druhou plus - posunu si to trošku výš, protože asi budu potřebovat hodně prostoru - 3 na druhou plus 9 na druhou se rovná délce strany KJ na druhou 3 na druhou se rovná 27, pardon, ne 27, 3 na druhou je 9. 9 na druhou je 81, a to je to, čemu se bude rovnat délka KJ na druhou. Čili máme KJ na druhou rovná se 90, což je to samé jako 9 krát 10. A KJ je druhá odmocnina z tohoto, takže druhá odmocnina z tohoto bude druhá odmocnina z 9 krát 10 to se rovná druhá odmocnina z 9 krát druhá odmocnina z 10, což se rovná 3 krát druhá odmocnina z 10. Takže je to vlastně úplně stejná délka jako BA. Teď uděláme to samé s KL. Pro KL si můžeme sestavit další pravoúhlý trojúhelník tady. Jeho výška je 3, jeho délka je 3. To je 3 a 3 přesně tady. Takže můžeme napsat 3 na druhou plus 3 na druhou se rovná délce KL na druhou. Tohle tady je 18 rovná se KL na druhou a když si vezmete odmocninu z obou stran, 18 je samozřejmě 9 krát 2. Pak tedy druhá odmocnina z 18 se rovná KL. Druhá odmocnina z 18 je zároveň druhá odmocnina z 9 krát 2, což je 3 krát odmocnina z 2. To se rovná 3 krát druhá odmocnina z 2. Takže tohle je 3 krát druhá odmocnina z 2. Toto je 3 krát druhá odmocnina z 10. Tento úhel je shodný s tímto úhlem. Takže nejenže jsou ABC a JKL podobné, jsou dokonce shodné. Tohle tady jsou shodné trojúhelníky, ale všechny shodné trojúhelníky budou zároveň podobné. Takže tento je rozhodně podobný. JKL je podobný ABC. Teď pojďme zjistit všechny tyto délky. Tady máme 1 a 1, takže můžeme říct 1 na druhou plus 1 na druhou se rovná EF na druhou, se rovná délce části EF na druhou. Nebo můžeme říct, že EF se rovná... Tady máme 2, takže tohle bude druhá odmocnina z 2. Tohle jsem vlastně měl označit modrou barvou protože tohle bude ta kratší. Chceme, aby tohle byla ta kratší strana, pokud porovnáváme tyto dvě strany svírající ten úhel. Teď koukněme na ED. Takže znovu, můžeme si tu sestrojit pravoúhlý trojúhelník, který je široký 1 a vysoký 3. Můžeme tedy říct 1 na druhou plus 3 na druhou se rovná délce ED na druhou. 1 na druhou plus 3 na druhou bude 10. Zjistíme tedy, že ED se rovná druhé odmocnině z 10. Je teď poměr mezi BC a EF stejný jako poměr mezi BA a ED? Pojďme si to napsat. Druhá odmocnina ze 3, nebo 3 krát druhá odmocnina ze 2 lomeno druhou odmocninou ze 2 se rovná 3. Tím pádem poměr mezi těmito dvěma modrými stranami mezi BC a EF je 3. Poměr mezi těmito dvěma oranžovými stranami je 3 krát druhá odmocnina z 10 lomeno druhá odmocnina z 10, což je také 3. Poměr mezi dvěma odpovídajícími stranami je stejný, úhel je shodný, takže tyto dva trojúhelníky jsou také podobné. DEF je taky podobný ABC. Zbývá nám k zamyšlení ještě jeden. HI je kandidátem na to, aby byl odpovídající BC. Jakou má délku? Tak se na to podívejme, tohle je pravoúhlý trojúhelník, to je šířka 2, výška 2, takže napíšeme 2 na druhou plus 2 na druhou se rovná délce HI na druhou. Tohle je 4, tohle je 4, takže 8 se rovná délce HI na druhou. A teď můžeme odmocnit obě strany. Druhá odmocnina z 8 se rovná délce HI, nebo můžeme říct, že délka HI se rovná... tohle je 4 krát 2, takže druhá odmocnina ze 4 krát druhá odmocnina ze 2 je 2 krát druhá odmocnina ze 2. Takže tohle je 2 krát druhá odmocnina ze 2. A pak kandidát na odpovídající stranu k AB je HG, je to ta delší ze dvou stran svírajících tento úhel. U HG si můžeme nastavit pravoúhlý trojúhelník, který vypadá takto. Je 2 dlouhý a 1, 2, 3, 4, 5, 6 vysoký. Můžeme tedy napsat… Trošku se posunu doprava. Můžeme napsat, že 2 na druhou plus 6 na druhou se rovná délce HG na druhou. Takže máme 4 plus 36 se rovná délce HG na druhou. Nebo máme, že HG se rovná druhé odmocnině z 40. Druhá odmocnina ze 40, jak si to můžeme zjednodušit? To je to samé jako odmocnina ze 4 krát 10, což je 2 krát druhá odmocnina z 10. Takže HG se rovná 2 krát druhá odmocnina z 10. Teď pojďme porovnat poměry. Poměr mezi BC a HI bude 3 krát druhá odmocnina z 2 lomeno 2 krát druhá odmocnina z 2, což je 3/2. A poměr mezi BA… Tohle si označím oranžovou barvou. 3 krát druhá odmocnina z 10, a HG, který je 2 krát druhá odmocnina z 10, je také 3/2. Takže všechny tyto trojúhelníky jsou nejen podobné ABC, jsou také podobné jeden druhému.
video