Lineární rovnice o dvou neznámých
Přihlásit se
Lineární rovnice o dvou neznámých (8/14) · 7:56

Směrnice přímky je konstatní Pomocí podobných trojúhelníků si dokážeme, že směrnice každé přímky je vždy rovna jednomu číslu.

Navazuje na Lineární rovnice II.
Často se v hodinách matematiky říká, že když máme přímku, tak ta bude růst konstantně v ‚y‘ v závislosti na ‚x‘. Nebo se nad tím zamyslíme tak, že přímka má konstantní sklon, že její směrnice je konstanta. Směrnice je definována jako změna v ‚y‘… Tento „trojúhelník“ je řecké písmeno delta. A je to zkratka pro „změna v“. Znamená to změnu v ‚y‘ dělená změnou v ‚x‘. A pokud pracujete s přímkou, tak toto zde je konstanta přímky. V tomto videu chci udělat to, že to dokážu pomocí podobných trojúhelníků. Zamysleme se tedy nad dvěma množinami dvou bodů. Řekněme tedy, že zde je bod. Udělám to jinou barvou. Začneme v tomto bodě. A skončíme v tomto bodě. Jaká je tedy změna v x-ové souřadnici mezi těmito dvěma body? X-ová souřadnice tohoto bodu je přímo zde, a x-ová souřadnice druhého bodu je zde. Změna v ‚x‘ je rovna tomuto. A kolik je změna v ‚y‘? Y-ová souřadnice tohoto bodu je přímo zde. Y-ová souřadnice druhého bodu je zde. Tato výška je tedy změna v ‚y‘. To je tedy naše změna v ‚y‘. Koukněme se tedy na další dva body. Řekněme, že máme tento bod a tento bod. A uděláme to samé. Jaká je změna v ‚x‘? Koukněme se. Pokud uděláme… Toto je x-ová souřadnice tohoto bodu. X-ová hodnota toho bodu je zde. Pokud tedy začneme tady a jdeme takhle daleko, tak změna v ‚x‘ mezi těmito dvěma body. A toto bude změna v… Udělám to stejnou zelenou. Toto je tedy změna v ‚x‘ mezi těmito dvěma body. A změna v ‚y‘ je… Tato y-ová hodnota zde. Tato hodnota v ‚y‘ zde. Takže změna v ‚y‘ je toto zde. Takže musím ukázat… Jenom vybírám dva libovolné body. Musím ukázat, že poměr změny v ‚y‘ a změny v ‚x‘ je poměr této změny v ‚y‘ a změny v ‚x‘. Nebo-li poměr fialové strany vůči zelené straně je stejný jako poměr této fialové vůči této zelené straně. Pamatujte si, že pouze vybírám dva náhodné body zde. A ukážu to pomocí podobností. Pokud dokážu, že tento trojúhelník je podobný tomuto trojúhelníku, tak už to máme hotovo. Jenom pro připomenutí toho, co je podobnost. Dva trojúhelníky si jsou podobné, a je tu několik způsobů, jak se na to podívat, pokud všechny odpovídající si strany, nebo úhly jsou stejné, jsou stejné, nebo se liší stejněkrát (stejným násobkem). A zde musíme být opatrní. Nemusí to být přesně stejné úhly. Odpovídající si úhly musí být stejné. Odpovídající si, vždycky to napíšu špatně, úhly jsou stejné. Nebo můžeme říct, že jsou shodné. Takže například mám tento trojúhelník zde. Toto je 30°, toto je 60° a toto je 90°. A pak mám zde tento trojúhelník. Zkusím jej nakreslit. Mám tedy tento trojúhelník, který má 30°, zde 60° a tady má 90°. Přestože jsou délky stran rozdílné, tak to jsou podobné trojúhelníky. Jsou to jen zvětšené/zmenšené verze. Všechny odpovídající si úhly… 60° na 60°, 30° na 30°, a 90° na 90°. Takže tyto dva trojúhelníky si jsou podobné. A na podobných trojúhelnících je hezké, že když řekneme, že jsou trojúhelníky podobné, tak pak poměr mezi odpovídajícími si stranami bude pořád stejný. Pokud jsou tyto dva podobné, pak poměr mezi touto stranou a touto je stejný jako poměr, udělám to růžovou, mezi touto stranou a touto. A už vidíme, proč nám to pomůže v našem důkazu. Už se jen podíváme, jestli jsou tyto dva trojúhelníky podobné, tak poměr mezi odpovídajícími si stranami je pořád to samé. Vybrali jsme dvě náhodné množiny bodů. Pak je toto pravda pro jakékoli dvě množiny bodů na této přímce. Pak to je pravda pro celou přímku. Takže zkusíme dokázat podobnost. Takže první věc, kterou víme, je to, že oba trojúhelníky jsou pravoúhlé. Tyto zelené přímky jsou dokonale horizontální. Tyto fialové přímky jsou dokonale vertikální. Zelené přímky jsou horizontální. Fialové přímky jsou vertikální. Tak to pořádně zapišme. Víme, že oba tyto úhly jsou pravé. Máme tedy jeden stejný odpovídající si úhel. Teď musíme ukázat, že i ostatní jsou stejné. A to můžeme ukázat pomocí znalostí o rovnoběžkách a průsečících. Koukněme se na tyto dvě zelené přímky. Prodloužím je. Toto jsou dvě úsečky, ale podíváme se na ně jako na přímky a prostě je prodloužíme. Udělám to. Tato přímka je zjevně rovnoběžná s touto. Jsou obě dokonale horizontální. A teď se můžeme na oranžovou přímku kouknout jako na průsečnici. A když je to průsečnice, tak víme, že tento úhel odpovídá tomuto úhlu. A víme, že když přímka protne dvě paralelní přímky, tak odpovídající si úhly jsou stejné. Takže tento úhel je stejný jako tento úhel. Teď to podobně uděláme u tohoto úhlu. Ale použijeme dvě vertikální přímky. Víme, že tuto úsečku můžeme prodloužit na přímku. Takže ji prodloužíme, pokud chceme, na přímku, takhle to udělám na vertikální přímku. Tuto taky prodloužíme na vertikální přímku. Víme, že tyto dvě jsou vertikální. Přesně měří… Jsou přesně ve směru y-ové osy, vertikální směr. Takže tato přímka je rovnoběžná s touto přímkou zde. Opakuji, že tato oranžová přímka je její průsečík. A tento úhel odpovídá tomuto úhlu zde. A tady to máme. Jsou stejné. Odpovídající si úhly průsečíku dvou rovnoběžných přímek jsou stejné. To umíme z geometrie. A zde to máte. Všechny odpovídající… Tento úhel je stejný jako tento, tento jako tento, a pak tu jsou dva 90° úhly. Takže tyto dva trojúhelníky si jsou podobné. Jen to sepíšu, takže víme, že tyto trojúhelníky jsou podobné. A teď můžeme použít známý poměr obou stran. Pokud bychom tuto délku nazvali ‚a‘. A pak bychom řekli, že toto je ‚b‘. A toto je ‚c‘. A toto má délku ‚d‘. Tak víme, že poměr… Trojúhelníky jsou podobné, tak poměr mezi odpovídajícími si stranami ‚a‘ a ‚b‘ je roven poměru mezi ‚c‘ a ‚d‘. A tento poměr je definice směrnice, je to změna v ‚y‘ dělená změnou v ‚x‘. A je to konstanta, protože jakékoli pravoúhlé trojúhelníky, které najdete mezi těmito dvěma body, jsou podobné. Pokud jsou podobné, pak poměr mezi délkami vertikálních úseček ku horizontální úsečce je konstantní. To je definice směrnice. Takže směrnice je u každé přímky konstantní.
video