Lineární rovnice o dvou neznámých
Přihlásit se
Lineární rovnice o dvou neznámých (10/14) · 6:07

Přímka zadaná směrnicí a libovolným bodem V tomto videu navážeme na předchozí a pokusíme se napsat rovnici přímky, pokud známe její směrnici a bod, kterým prochází.

Navazuje na Lineární rovnice II.
To co jsem zde nakreslil žlutě je přímka. Řekněme, že známe dvě věci o této přímce. Víme, že má směrnici 'm' a víme, že bod [a,b] leží na této přímce. Otázka, na kterou se budeme snažit odpovědět, zní, zda můžeme snadno přijít na rovnici této přímky pomocí těchto informací. Zkusme to udělat. Jakýkoliv bod na této přímce, jakékoliv [x,y] na této přímce musí splnit tuto podmínku, že směrnice… Řekněme, že tohle je nějaký bod [x,y]. Je to libovolný bod na přímce. Fakt, že je na přímce, nám říká, že směrnice mezi [a,b] a [x,y] musí být 'm'. Využijme znalosti tohoto k sestrojení rovnice. Jaká je směrnice mezi [a,b] a [x,y]? No, naše změna v 'y'… Pamatujte, směrnice je změna v 'y' ku změně v 'x'. Napišme to. Směrnice je rovna změně v 'y' ku změně v 'x'. Tento malý symbol trojúhelníku, to je řecké písmeno delta, zkratka pro změnu. Naše změna v 'y'… Podívejme se. Pokud bychom začali na 'y' je rovno 'b' a skončili na 'y' je rovno tomuto libovolnému 'y' zde, tato změna v 'y' zde bude rovna 'y' minus 'b'. Napíšu to v těch stejných barvách. Tohle bude 'y' minus mé malé oranžové 'b'. A tohle bude naše změna v 'x'. A ten stejný postup - začínáme na 'x' je rovno 'a'. Končíme na 'x' je rovno tomuto libovolnému 'x', ať už je to 'x' jakékoliv. Změna v 'x' bude koncový bod minus počáteční bod… …minus 'a'. A víme, že tohle je směrnice mezi těmi dvěma body. To je směrnice mezi dvěma libovolnými body na přímce. To se rovná 'm'. Tohle se bude rovnat 'm'. A co jsme právě udělali je, že jsme vlastně sestrojili rovnici, která popisuje tuto přímku. Nemusí být ve tvaru, na který jste zvyklí, ale je to rovnice, která popisuje, že každé [x,y], které splňuje tuto rovnici zde, bude na této přímce, protože každé [x,y], které splňuje tohle, že směrnice mezi [x,y] a tímto bodem zde, mezi bodem [a,b], bude rovno 'm'. Pojďme to tedy převést do tvarů, které bychom snadněji rozpoznali. Zkopíruji to. Abychom to trochu zjednodušili nebo se aspoň zbavili (x minus a) ve jmenovateli, pojďme vynásobit obě strany (x minus a). Pokud bychom obě strany vynásobili (x minus a), tedy (x minus a) na levé straně i na pravé straně rovnice. Vložím sem kolem toho nějaké závorky. Vynásobíme obě strany (x minus a). Celý smysl je, že tady budeme mít (x minus a) děleno (x minus a), což bude jen 1. A na pravé straně budeme mít jen m krát (x minus a). Tohle celé se zjednodušilo na (y minus b) je rovno m krát (x minus a). A tohle, to je tvar, který lidé, matematici, označují jako rovnici přímky zadanou bodem a směrnicí. Tato rovnice je tedy zadána bodem a směrnicí. Proč se tomu tak říká? Je velmi snadné to prozkoumat a říct: „Tohle zeleně je směrnice přímky. To je směrnice přímky. A můžu do ní vložit dva body. Pokud je bod [a,b] na přímce, mám směrnici krát (x minus a) je rovno (y minus b).“ Teď se podívejme, proč je to užitečné, proč lidé rádi používají tento zápis. Nepoužívejme už bod [a,b] a směrnici 'm'. Udělejme to trochu konkrétnější. Řekněme, že nám někdo řekne, že pracujeme s přímkou, kde směrnice je rovna 2, a řekněme, že prochází bodem [-7,5]. Velmi rychle byste mohli využít této informace a znalosti tvaru rovnice zadané bodem a směrnicí, abyste to zapsali v tomto tvaru. Řekli byste: „Rovnice obsahující tento bod a tuto směrnici by byla (y minus b), což je 5… y minus 'y' souřadnice bodu, který leží na přímce. …je rovno směrnici krát (x minus 'x' souřadnice bodu na přímce), tedy (x minus -7).“ Takto byste napsali rovnici přímky, která má směrnici 2 a obsahuje tento bod. Pokud by se nám nelíbilo (x minus -7) zde, mohli bychom to přepsat na (x plus 7). Ale tohle je čistý tvar bod-směrnicové rovnice. Pokud to chcete zjednodušit, můžete napsat (y minus 5) je rovno 2 krát (x plus 7). Pokud byste chtěli vidět, že je to jen jiný způsob zápisu rovnice této přímky… Je mnoho dalších, ale ten, který známe nejlépe, je tvar s průsečíkem s osou 'y'. Tohle můžeme snadno převést do takového tvaru. K tomu musíme roznásobit tuto 2. Dostaneme (y minus 5) je rovno 2 krát x plus 2 krát 7, takže 14. A pak se zbavíme -5 nalevo přičtením 5 k oběma stranám rovnice. Na levé straně nám zůstane 'y' a na pravé straně 2x plus 19. Tohle zde je směrnice-průsečíkový tvar rovnice. Máme směrnici a průsečík s osou 'y'. Tohle je směrnice-průsečíkový tvar. A tohle zde je bod-směrnicový tvar.
video