Lineární rovnice o dvou neznámých
Přihlásit se
Lineární rovnice o dvou neznámých (12/14) · 8:07

Obecná rovnice přímky Pojďme si ukázat další, často užívaný, způsob, kterým lze popsat přímku. Jedná se o takzvanou obecnou rovnici přímky.

Navazuje na Lineární rovnice II.
Už jsme si ukázali několik způsobů zápisu lineárních rovnic. Můžete ho zapsat ve směrnicově-průsečíkovém tvaru. Ten má obecný tvar y se rovná m krát x plus b. V tomto zápisu m a b představují konstanty. Písmeno m představuje koeficient, ze kterého vidíme sklon (směrnici). Oproti tomu písmeno b vyjadřuje průsečík s osou y. Každá dvojice x-y, která splňuje tuto rovnici, bude mít průsečík s osou y v bodě x se rovná 0 a y se rovná b. A jeho směrnice bude rovna m. Už jsem to ve videích rozebíral několikrát. Také už jsme si ukazovali směrnicově-bodový tvar. Udělejme si v tom pořádek, Tohle je směrnicově-průsečíkový tvar. Probereme tu vlastně jen různé způsoby zápisu té samé rovnice. Můžeme mezi nimi přecházet pomocí základních úprav. Dalším je tedy bodově-směrnicový tvar. Máme nějakou přímku v jejíž rovnici najdeme směrnici m, a zároveň platí, že průsečík s osou x je roven 'a', a s osou y je 'b'. Pokud je toto splněno, můžeme zapsat bodově-směrnicový tvar jako: (y minus b) je rovno m krát (x minus a). Tohle je bodově-směrnicový tvar, kterému již bylo věnováno jiné video. V tomto videu bych vám rád představil jinou formu zápisu. Možná, že už jste ho někde viděli. Nazývá se obecná rovnice přímky. Obecnou rovnici můžeme zapsat jako A krát x plus B krát y se rovná C. Přičemž A, B a C jsou čísla. V tomto videu bych rád, podobně jako v těch předchozích, objasnil význam této formy zápisu rovnice přímky. K čemu se hodí a k čemu méně. Pojďme si to ukázat na konkrétním příkladu. Řekněme, že mám rovnici přímky v obecném tvaru. 9 krát x plus 16 krát y se rovná 72. Chceme nakreslit graf této přímky. Na co je obecná rovnice přímky dobrá? Není jen na zjištění průsečíku s osou y, k tomu slouží i směrnicový tvar. Je to i na zjištění průsečíku s osou x. Průsečík s osou x není až tak jednoduché vypočítat z předchozích dvou vyjádření. Jak to tady zjistíme? Pro zjištění průsečíků... ...nakreslím si tady malou tabulku, jeden sloupec bude x a druhý y. V průsečíku s osou x platí, že y je rovno 0. A naopak v průsečíku s osou y platí, že x je rovno 0. Když tedy y je 0, čemu se rovná x? Protože 16 krát 0 je stále 0, prostřední člen vypadne a zůstane nám 9x je rovno 72. Pokud 9 krát x je 72, pak nám stačí celou rovnici vydělit 9 a vyjde nám x se rovná 8 Průsečík s osou x bude v bodě 8. To bylo dost jednoduché, tento člen vypadl a my pak řešili jen jednoduchou rovnici 9 krát x se rovná 72, z toho vyjde, že x se rovná 8. Pokud y je rovno 0, x je 8. Bod se souřadnicemi 8 a 0 najdeme tady. Y-ová souřadnice je 0 a x-ová je 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Je to tento bod. V tomto bodě naše přímka protne osu x. Když mluvíme o průsečíku s osou x, je to bod, kde přímka tuto osu protne. Kde bude průsečík s osou y? X je v tomto bodě 0, první člen proto vypadne. Zbyde nám 16y je rovno 72. To můžeme lehce vyřešit. 16 krát y je rovno 72. Celou rovnici vydělím 16 a dostanu 72 děleno 16, což je kolik? To se rovná... ...obě čísla jsou dělitelná 8. Po zkrácení nám zbyde 9 lomeno 2, což můžeme napsat jako 4,5. Když je x rovno 0, y je rovno 4,5. Nakresleme si tento bod. X-ová souřadnice je nula, y-ová je 1, 2, 3, 4 a půl. Teď máme dva body, což je dostatečné množství na nakreslení přímky. Pojďme na to. Tohle se nepovedlo, použil jsem špatný kreslící nástroj. Přímka potom bude vypadat asi takto. Tady to máme. Nakreslil jsem graf přímky, na které leží všechny body splňující zadanou rovnici. Ta má tvar 9x plus 16y se rovná 72. Zmínil jsem, že obecná rovnice přímky je dobrá v několika ohledech. Tyto aspekty jsou unikátní v porovnání s předchozími tvary. Z obecné rovnice přímky je velmi přímočarý výpočet průsečíku s osou y. Zároveň je stejně jednoduché vypočítat z tohoto tvaru průsečík s osou y, Ve směrnicově-průsečíkovém tvaru to vidíme hned. Z bodově-směrnicového tvaru nevidíme rovnou ani jeden z průsečíků s osami. Směrnicové tvary jsou ale lepší v tom, že z nich hned dokážeme vyčíst směrnici. Zatímco v obecné rovnici byste museli ještě maličko výraz upravovat. Mohli byste využít tyto dva body, tedy průsečíky s osami. A z dvou bodů lze vypočítat sklon přímky. Řekli bychom si, že když jdeme z tohoto bodu na tento, změní se x o minus 8. Zatímco y jde z 0 do 4,5... ...trochu to tady promažu a zpřehledním. Když jdete z 8 na 0, změna x je rovna minus 8. A když jdeme z 0 na 4,5, tak změna v y bude 4,5. Sklon, neboli směrnici vypočítám jako změna v y, 4,5, lomeno změna v x, minus 8. Máme tady desetinné číslo, to nemám rád. Proto vynásobím čitatel i jmenovatel dvojkou. Tak získám výsledek minus 9 děleno 16. Vidíte, že jsme tento údaj museli dopočítávat, nebyl vidět hned ze zápisu. I přestože si pravděpodobně dokážete odvodit vzorec, jak to funguje. Ale i tak bychom mohli udělat lehce chybu například ve znaménku. Tedy musíme udělat lehkou algebraickou úpravu. Já osobně si radši převedu rovnici na jiný tvar, ze kterého je to vidět hned. Preferuji směrnicově-průsečíkový tvar. Obecná rovnice je zato ideální pro výpočet obou průsečíků s osami. Není nijak těžké tento tvar převést na směrnicově-průsečíkový. Jak bychom to udělali? Pojďme si to zkusit, aby to bylo jasné. Začněme s 9x... ...napíšu to žlutou barvou. Máme obecnou rovnici 9x plus 16y je rovno 72. Chceme to převést do směrnicově-průsečíkového tvaru. Od obou stran rovnice proto odečtu člen 9x. Bude to pak 16y je rovno minus 9x plus 72. No a potom jen celou rovnici vydělíme 16. Všechny členy vydělím 16. Zbyde vám tam y je rovno minus 9 lomeno 16 krát x, což je ta směrnice, tady ji vidíme, plus 72 lomeno 16, což už tu máme vypočítané, to je 9 lomeno 2, neboli 4,5. Napíšu tu proto 4,5. Z tohoto tvaru vidíme na první pohled směrnici. Zároveň se nám tu objeví i průsečík s osou y. Na druhou stranu z tohoto tvaru nevyčteme průsečík s osou x.
video