Kvadratické rovnice a funkce
Přihlásit se
Kvadratické rovnice a funkce (23/27) · 5:45

Soustavy nelineárních rovnic Máme na vyřešení dvě neznámé ve dvou rovnicích, jedna z nich ale neni lineární. Ukážeme si, že i tuto úlohu umíme vyřešit, jak početně, tak i graficky.

Navazuje na Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou.
... Vyřešte soustavu rovnic graficky. Své řešení zkontrolujte algebraicky. Pojďme nakreslit graf každé rovnice... Nejdřív najdu nějakou hezkou barvu pro kreslení. První rovnice bude modrá, to je parabola. První věc k zamyšlení: Jak vím, že je to parabola? Protože je to kvadratická funkce, objevuje se zde druhá mocnina proměnné x. Pak se musíme zamyslet, zda bude parabola otevřená nahoru, nebo dolů. Když vidíme záporný koeficient před 'x', tak to znamená, že máme parabolu otevřenou dolů. A jaké bude maximum naší paraboly? Zamyslete se. Celý tento výraz bude vždy záporný, respektive nebude kladný. Druhá mocnina 'x' bude vždy nezáporná, a pokud ji vynásobíme záporným znaménkem, výraz bude nekladný (záporný nebo 0). Takže nejvyšší hodnotou, kterou může výraz nabývat, bude pro 'x' rovno 0... Vrchol naší paraboly totiž je, pokud se 'x' rovná 0 a 'y' je rovno 6. Takže 'x' se rovná 0 a 'y'... 1, 2, 3, 4, 5, 6 -- tady. Právě tady je nejvyšší bod naší paraboly. Pokud chceme, můžeme nakreslit pár dalších bodů a uvidíme, co se stane. Podíváme se, co se stane, když bude 'x' rovno... Nakreslíme si malou tabulku... 'x' je 2, kolik je 'y'? Je to -x na druhou plus 6. Takže 'x' se rovná 2, kolik je 'y'? Máme 2 na druhou, to je 4, ale máme tu to minus. Takže nám vychází -4 plus 6, což je 2. A stejný výsledek dostaneme, když bude 'x' rovno -2. Dosadíme sem -2, dáme na druhou, což je +4, ale nezapomeňme na toto minus, takže máme -4 plus 6, a to je 2. Nakreslíme si oba dva body, takže [2, 2] a pak [-2, 2]. Teď už bychom to mohli spojit, ale zkusme ještě dosadit 3. Takže 'x' se rovná 3, 3 na druhou je 9. Máme minus před mocninou, takže -9 plus 6, což je -3. A pokud bude 'x' rovno -3, výsledek bude také -3. -3 na druhou je 9, minus před mocninou, to je -9 plus 6, což je -3. Takže máme [-3, -3] a pak [3, -3]. Takže máme dostatek bodů. A můžeme nakreslit parabolu. Naše parabola bude vypadat nějak... Zkusím to ještě jednou... Nějak takhle, ještě dodělám tu druhou část. Druhá část paraboly se hůř kreslí, zkusím to ještě jednou. Nějak takhle asi. Spojíme body. Takže takhle nějak to vypadá. Parabola samozřejmě ještě pokračuje dolů, tak ji dokreslíme tímto směrem. Tohle je tedy první graf. Teď budeme kreslit ten druhý: y se rovná -2x minus 2. Vypadá to, že to bude přímka. Je tu lineární závislost a nejvyšší stupeň mocniny je roven 1. Průsečík osy y bude -2. A směrnice přímky je také -2. Posuneme-li se o 1 doprava na ose x, posuneme se o 2 dolů na ose y, když se na ose x posuneme o další 2, na ose y už to bude o 4 níž. Když se posuneme zpět o 2 doleva na ose x, to znamená o 4 nahoru na ose y. Zdá se, že jsme našli jeden z hledaných průsečíků. Spojíme body a přímka bude vypadat... Je to těžké nakreslit, ale zkusím to, jak nejlépe dokážu. To je ta nejtěžší část. Takže to bude vypadat nějak takhle. A otázka zní, kde se grafy protínají? Jeden z bodů se nám již objevil, protože úkol zněl najít je graficky. Tenhle bod, se souřadnicemi [-2,2]. Tady je: [-2,2]. Je to správně? Když vezmeme -2 a dosadíme za 'x' do téhle rovnice, pak -2 krát -2 se rovná 4 a 4 minus 2 se rovná 2, a 'y' se rovná 2. A když dosadíme -2 sem, 'y' bude rovno 2, takže to dává smysl. Ale kdyby nám graf pokračoval tímto směrem, našli bychom další průsečík. Bude ještě jeden průsečík, když protáhneme tuto parabolu. Když je 'x' rovno 4 a máme -16 plus 6, dostaneme -10. Takže 1,2,3,4 doprava a 10 dolů. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. To vypadá, že by mohl být druhý průsečík, jen sem dotáhnu graf. Vypadá to, že druhý průsečík bude právě tady. Budeme-li sledovat červenou přímku, tak zde se grafy protnou. Ověřme si, že je to správně. Takže 4 a -10. Víme, že leží na modré parabole, vyzkoušejme to i na druhém grafu. -2 krát 4 minus 2, to je -8 a minus další 2, to se rovná -10. Bod [4, -10] je společný oběma grafům. Když je 'x' rovno 4 a 'y' rovno -10 pro obě rovnice, je to zcela jistě správně.
video