Kvadratické rovnice a funkce
Přihlásit se
Kvadratické rovnice a funkce (24/27) · 8:22

Soustavy nelineárních rovnic 2 V tomto příkladě máme dvě kvadratické rovnice o dvou neznámých. Nejdříve je vyřešíme početně a poté se o správnosti přesvědčíme z grafického řešení.

Navazuje na Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou.
Vyřešte soustavu rovnic substitucí. Zkontrolujte výsledek nakreslením grafu funkce. Pojďme zkusit substituci. Víme, že 'y' se rovná tomuto nahoře a navíc víme, že se 'y' rovná i tomuto dole. Protnou se, budou-li se obě rovnat stejnému 'y' nebo když se toto rovná tomuto nebo když se -(x na druhou) rovná 2 krát (x na druhou) plus 3x minus 6. Hodnoty 'x', pro která se obě rovnice rovnají, budou rovny hodnotám 'x', kde se tyto 'y' rovnají, bude to tedy jejich průsečík. Bude to dvojice [x,y], která splňuje obě rovnice. Vypočítejme tedy 'x'. Pro začátek přidejte 'x na druhou' na obě strany a dostaneme 0 se rovná 3 krát (x na druhou) plus 3x minus 6. Pro zjednodušení pravé strany vydělíme obě strany rovnice 3. Všechno můžeme vydělit 3. Dostáváme 0 se rovná 'x na druhou' plus 'x' minus 2. Mohli bychom použít vzorec pro kořeny, doplnit to na čtverec nebo další metody, ale dá se to snadno rozložit na součin. 0 se rovná… Máme tu 2 a -1. Když je vynásobíte, získáte -2, když je sečtete, dostanete +1. Tedy máme (x plus 2) krát (x minus 1). Teď víme, že (x plus 2) se rovná 0, nebo (x minus 1) by mohlo být rovno 0. Odečteme 2 od obou stran zde, dostaneme 'x' se rovná -2. Nebo přičteme 1 na obě strany zde, pak je 'x' rovno 1. Toto jsou naše dvě řešení, 'x' se rovná -2, nebo 'x' se rovná 1. Pojďme to ověřit. Dosadíme-li 'x' rovno -2, co dostaneme? -2 na druhou je +4. Pak přidáme minus a dostaneme -4. Dostali jsme tedy bod [-2,-4]. To nastane, dosadíme-li -2. Co se stane, dosadím-li 1? 1 na druhou je 1, přidám-li minus, je to -1. Je to tedy [1,-1]. To jsou dva body v této rovnici, v této funkci. Podíváme-li se sem a dosadíme -2, 2 krát (-2 na druhou)… -2 na druhou je +4, 2 krát 4 je 8, 3 krát -2 se rovná -6, tedy 8 minus 6 minus 6. 8 minus 6 je 2, 2 minus 6 se rovná -4. Bod [-2, -4] leží na grafu funkce. Obě rovnice mají společný tento bod, protínají se zde. Dosadím-li 1, dostanu 2 plus 3 minus 6, 2 plus 3 je 5, minus 6, když 'x' je 1, což je rovno -1. Bod [1,-1] je tedy rovněž na grafu. Můžeme zakreslit tyto body, [-2, -4]. -2, 1, 2, 3, 4, zde. To bude průsečík. Pak máme bod [1, -1]. [1, -1] bude také průsečík. Pojďme načrtnout druhou funkci a ověřme to. Ověřme si výsledek nakreslením grafu funkce. Nejdříve nakreslíme tuto, je to docela snadné. 'y' se rovná -(x na druhou). Protne to bod [0,0]. Bude to parabola otevřená směrem dolů. Když je 'x' rovno +1 nebo -1, 'y' bude -1. Umocníme na druhou a přidáme minus. Když je 'x' +2 nebo -2, 'y' bude -4. Graf bude vypadat nějak takhle. …4, 5, 6, 7, 8, 9. Graf bude vypadat asi takto. Je to tato rovnice zde. Bude to parabola otevřená nahoru. Mohli jsme to udělat doplněním do čtverce, ale v tomto případě… Zkusme použít vzorec pro výpočet kořenů. Chtěl bych vám ukázat rychlou metodu, odkud pochází vzorec pro vrchol, když použijeme vzorec na získání kořenů. Vezmete-li si tento případ a budete chtít najít kořeny, zjistíte, že 'x' se rovná -b, což je -3, plus nebo minus odmocnina z ('b na druhou', což je 9, minus 4ac). Minus 4 krát 2 krát -6. To vše lomeno 2a, tedy 2 krát 2. Můžeme to vypočítat a zjistit kořeny, ale chtěl jsem vám to ukázat, protože máme vždy 2 řešení. Vlastně vám tu ten vzorec napíšu. Vzorec je tedy: (-b ± odmocnina z (b na druhou minus 4ac)) lomeno 2a. Je-li to kladné číslo, vyjdou 2 řešení, které jsou od sebe stejně vzdáleny. Jsou vždy stejně daleko, takto daleko, od '-b lomeno 2a'. Můžeme to psát jako (-b lomeno 2a) plus nebo minus odmocnina z (b na druhou minus 4ac) lomeno 2a. Lze dostat nejvýše 2 řešení, která jsou stejně daleko od tohoto 'x'. V mnoha videích jsme viděli, co je ten bod, který je stejně daleko od obou řešení, který je přímo mezi nimi. Je to buď osa symetrie nebo hodnota 'x' vrcholu. Odtud pochází vzorec pro hodnotu 'x' vrcholu paraboly. Hodnota 'x' vrcholu je (-b lomeno 2a). Jestliže chceme najít vrchol, hodnotu 'x' tohoto, vezmeme si '-b', což je -3, lomeno 2 krát 'a', 2 krát 2, což je 4. Takže 'x' se rovná (-3 lomeno 4) a to je vrchol paraboly. Když se 'x' rovná (-3 lomeno 4), kolik je 'y'? To je trochu složitější, ale proletím to. Bude to 2 krát (9 lomeno 16) minus (9 lomeno 4) minus 6. Na to si raději vezmu kalkulačku. Je to 18 lomeno 60. Vezmu si kalkulačku, to bude jednodušší, nechci mrhat vaším časem kvůli aritmetice. Bude to (18 děleno 16) minus (9 děleno 4) minus 6, což se rovná -7,125. Rovná se to -7,125. Vrchol získáme, když 'x' je (-3 lomeno 4) a 'y' je -7… V podstatě to je 7 a (1 lomeno 8), takže 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,125. Něco málo přes 7. Vrchol tohoto grafu je přímo tady. Kolem vrcholu je to symetrické. Toto je osa symetrie, proto bude vrchní graf vypadat takto. Přesně tak a máme hotovo. Našli jsme dva průsečíky zde a zde a když si to zakreslíme do grafu, vypadá to dost dobře.
video