Kvadratické rovnice a funkce
Přihlásit se
Kvadratické rovnice a funkce (10/27) · 5:25

Doplnění na čtverec - příklad 4 Najděme kořeny kvadratické rovnice pomocí doplňování na čtverec.

Navazuje na Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou.
Doplněním na čtverec najděte kořeny kvadratické rovnice. Když někdo mluví o kořenech, tak to znamená: najděte takové ‚x‘, aby y bylo 0. To je kořen. Kořen je hodnota ‚x‘, která tuto kvadratickou funkci vyřeší pro y rovno 0. Abychom nalezli ta ‚x‘, prostě dáme y je 0 a vyřešíme to pro ‚x‘. Dostaneme 0 se rovná 4 krát x na druhou plus 40x plus 280. První krok, který bychom měli udělat, -- Jenom protože to vypadá, že všechny 3 výrazy jsou dělitelné 4. -- je vydělit obě strany 4. To nám naši práci s matematikou trochu ulehčí. Pojďme tedy všechno tady vydělit 4. Když to všechno vydělíme 4, tak dostaneme: 0 se rovná x na druhou plus 10x plus 70. Máme to doplnit na čtverec, ale vlastně bych nejdřív posunul tu 70 trošku dál. Za chvíli uvidíte, proč jsem to udělal. Napíšu tedy 70 sem, prostě jenom, abych měl tady divnou mezeru. Uvidíte, co se chystám udělat s touto mezerou, která má všechno společné s doplněním na čtverec. Použit doplnění na čtverec znamená: změňte tohle, pokud můžete, na perfektní čtverec. Změňte alespoň část tohoto výrazu na perfektní čtverec a pak to můžeme použít pro vyřešení pro ‚x‘. Jak toto změníme na perfektní čtverec? Máme tady 10x. A víme, že to můžeme změnit na perfektní čtverec, pokud vezmeme 1/2 z 10, což je 5, a pak to umocníme na druhou. 1/2 z 10 je 5, umocníme na druhou a dostaneme 25. Nemůžete jen tak přidat 25 k jedné straně rovnice bez upravení té druhé, nebo bez odečtení 25 přímo tady. Popřemýšlejte o tom. Já tu rovnici nezměnil. Přidal jsem 25 a hned zase odebral. Takže jsem vlastně této pravé straně nic nepřidal. Mohl bych přidat miliardu a odečíst miliardu a rovnici bych nezměnil. Takže jsem tuhle rovnici nezměnil ani náhodou. Udělal jsem to, že jsem umožnil vyjádřit tyhle 3 členy jako perfektní čtverec. Přímo tady, 2 krát 5 je 10. 5 na druhou je 25. Takže (x plus 5) na druhou. A jestli mi nevěříte, tak si to roznásobte. Dostanete x na druhou plus 5x plus 5x, což vám dá 10x, plus 5 na druhou, což je 25. Takže tyhle 3 členy se stanou tímto a ty další 2 členy, přímo zde, prostě přidáte. -25 plus 70 by bylo 50 a pak máte ještě dalších -5, takže to je 45. Takže jsme jen algebraicky upravili tuto rovnici. A dostaneme: 0 se rovná (x plus 5) na druhou plus 45. Teď můžeme, mohli jsme už na začátku, kdybychom chtěli, to zkusit rozložit. Ale my uděláme něco, co vždy funguje. I když máte šílená čísla, tak to můžete vyřešit užitím metody, kterou zde děláme, doplněním na čtverec. Abychom to vyřešili pro ‚x‘, tak odečteme 45 z obou stran téhle rovnice. Tak na levé straně dostaneme -45, na pravé straně zbude jen (x plus 5) na druhou. Tato čísla se vyruší. Obyčejně, když vidím něco takového, tak řeknu: „Prostě odmocníme obě strany téhle rovnice.“ Takže možná vás to bude nutit udělat přesně to, ale hned jak to uděláte, tak uvidíte něco zvláštního. Budete se snažit odmocnit záporné číslo. A jestli pracujete s reálnými čísly, což jsme dělali doteď, tak nemůžete odmocnit záporné číslo. Neexistuje žádné reálné číslo, které vám po umocnění na druhou, dá záporné číslo. Takže to není možné. Je jedno, co dosadíte za ‚x‘. Není možné přičíst 5 k ‚x‘, odmocnit to a dostat záporné číslo. Není ‚x‘, které by splnilo -- Pokud bereme v úvahu, že ‚x‘ je reálné číslo. -- splnilo rovnici. Protože mě nezajímá, jaké ‚x‘ sem dáte. Jakékoli reálné ‚x‘ sem dáte a přidáte 5, umocníte a není možné mít záporné číslo. Není žádné ‚x‘, pro které by šlo vyřešit tuto rovnici, takže můžeme říct, že nejsou… Používám slovo reálné, protože v Algebře 2 se dozvíte o věcech zvaná komplexní čísla, ale s tím si teď nedělejte starosti. Ale tady nejsou žádné reálné kořeny k této kvadratické rovnici. A máme hotovo. Když jí zkusíte rozložit, tak zjistíte, že je to složité, protože tohle není rozložitelný výraz, a vy to víte, protože zde nejsou reálné kořeny.
video