Kvadratické rovnice a funkce
Přihlásit se
Kvadratické rovnice a funkce (17/27) · 4:59

Znaménko diskriminantu Ukážeme si, že počet řešení kvadratických rovnic si můžeme odvodit ze znaménka diskriminantu.

Navazuje na Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou.
Rozhodněte o počtu řešení rovnice: x na druhou plus 14x plus 49 rovná se 0. Je mnoho možností, jak to udělat využít. Můžeme rovnici upravit vytýkáním a pak pouze najít kořeny x a spočítat je, to by byl počet řešení rovnice. Také můžeme použít vzorec. V tomto případě chceme prozkoumat vzorec pro kořeny, a promyslet, jak můžeme určit počet řešení bez toho, abychom je výslovně hledali. Kvadratický vzorec nám říká, že když máme rovnici ve tvaru: a(x na druhou) plus bx plus c rovná se 0, tak řešení budou, nebo jestli řešení existuje, tak bude -b plus minus odmocnina z (b na druhou minus 4ac), celé děleno 2a. Důvod, proč můžeme najít 2 řešení, je ten, že ve vzorci se vyskytuje plus i minus. Co když je (b na druhou minus 4ac) kladné číslo? Promysleme to trochu. Jestli (b na druhou minus 4ac) je větší než 0, tak co z toho vyplývá? V první řadě to bude kladné číslo. Pak je to třeba odmocnit. Když to pak odečítáme od -b, tak získáme jednu hodnotu pro čitatele, a když sčítáme s - b, tak získáme další hodnotu pro čitatele. To povede ke dvěma řešením. Co se stane, když se (b na druhou minus 4ac) bude rovnat 0? Jestli je výraz pod odmocninou rovný 0, tak dostaneme mocninu 0. Bude to -b plus minus 0. Nezáleží na tom, jestli přičítáte nebo odečítáte 0, vždy dostanete stejný kořen. V tomto případě, řešení rovnice bude mít tvar -b lomeno 2a. Nebude tady plus ani minus, protože to nemá smysl. Dostanete jenom jedno řešení. Když (b na druhou -4ac) je rovno 0, tak dostanete jenom jedno řešení. Co se stane, když (b na druhou minus 4a) je menší než 0? Když je (b na druhou minus 4ac) menší než 0, tak to je záporné číslo a budete muset odmocnit záporné číslo. Víme z kapitoly o dělení reálných čísel, že nemůžeme odmocnit záporná čísla. Neexistuje reálné číslo, ze kterého by po umocnění vzniklo záporné číslo. V této situaci neexistují řešení, aspoň reálná ne. Když říkám reálná, myslím doslova reálná čísla, není reálné řešení. Žádné reálné řešení. Pouvažujme o tom v kontextu této dané rovnice. V případě, že byste byli zvědaví, jestli tato rovnice: b na druhou minus 4ac má nějaké jméno, tak ano má. Nazývá se diskriminant. Diskriminant. Tohle je diskriminant. Je součástí kvadratické rovnice. Rozhoduje o počtu řešení, které má rovnice. Jestli chceme najít počet řešení pro tuto rovnici, tak ji nemusíme celou vypočítat, i když to nezabere tolik práce. Musíme jenom vypočítat b na druhou minus 4ac. Kolik je (b na druhou minus 4ac)? b je 14. Je to (14 na druhou) minus 4 krát a, které je 1, krát c, které je 49. Kolik je 14 krát 14? Udělám to tady. 14 krát 14. 4 krát 4 je 16. 4 krát 1 je 4, plus 1 je 56. Přidat 0. 1 krát 14 je 14. Je to 6, 9, 1. Takže 196. Tohle je 196. Můžeme ignorovat 1. Kolik je 4 krát 49? 49 krát 4. 4 krát 9 je 36. 4 krát 4 je 16 plus 3 je 190. Nebo 19, takže dostanete 196. Tohle je 196. Takže (b na druhou minus 4ac) je 196 minus 196. 196 minus 196 je rovno 0. V tomto případě je diskriminant roven 0. Máme jenom 1 řešení. Jestli chcete, můžete ho najít. Tohle všechno bude odmocnina z 0. Bude to 0. Řešením bude -b lomeno 2a. Můžeme to vyřešit. -b je -14 lomeno 2 krát a. ‚a‘ je 1. Takže je to rovno -7. To je jediné řešení rovnice. Jestli jste jen chtěli zjistit počet řešení, tak stačí najít b na druhou minus 4ac rovná se 0. Bude to mít jenom jedno řešení. Tady je druhá možnost. Můžete to upravit snadno na (x plus 7) krát (x plus 7) se stejným výsledkem.
video