Kvadratické rovnice a funkce
Přihlásit se
Kvadratické rovnice a funkce (18/27) · 7:44

Důkaz kvadratického vzorce Již jsme mnohokrát využili kvadratický vzorec, který s využitím výpočtu diskriminantu dokáže určit kořeny kvadratické rovnice. Pojďme si ještě dokázat jeho správnost.

Navazuje na Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou.
V posledním videu jsem vám řekl, že pokud máme kvadratickou rovnici ve tvaru (a krát x) na druhou plus (b krát x) plus c se rovná 0, můžeme použít vzorec, abychom našli řešení takové rovnice. Vzorec nám říkal, že 'x' je rovno '-b' plus nebo minus druhá odmocnina 'b na druhou' minus 4 krát 'a' krát 'c' to celé děleno 2 krát 'a'. Už víme, jak vzorec použít. Stačí dosadít hodnoty za 'a', 'b', 'c'. Dostanete dvě řešení, protože ve vzorci máme plus nebo minus. V tomto videu bych chtěl tento vzorec dokázat. Důkaz využívá doplnění na čtverec a dostane vás z obecného tvaru ke vzorci. Abych mohl doplnit na čtverec, musím nejprve přepsat obecný tvar rovnice. Takže máme 'a' krát 'x', udělám to jinou barvou, 'a' krát 'x na druhou' plus 'b' krát 'x' plus 'c' se rovná 0. Nejprve celou rovnici vydělím 'a', aby byl koeficient členu 'x na druhou' 1. Dostaneme 'x na druhou' plus 'b' děleno 'a' krát 'x' plus 'c' děleno 'a' se rovná 0 děleno 'a', což je prostě 0. Dále převedeme člen 'c' děleno 'a' na pravou stranu rovnice, takže odečtěme 'c' děleno 'a' od obou stran rovnice. Dostaneme 'x na druhou' plus 'b' děleno 'a' krát 'x' plus (nechám tam mezeru, protože už to tam není; odečetli jsme to totiž od obou stran) se rovná '-c' děleno 'a'. Nechal jsem tam mezeru, abychom mohli doplnit na čtverec. Už jste viděli ve videu o doplnění na čtverec, že stačí vzít polovinu tohoto koeficientu a umocnit ho na druhou. Takže co je 'b' děleno 'a' děleno 2? Nebo co je jedna polovina krát 'b' děleno 'a'? No, to je 'b' děleno (2 krát a). Teď to umocníme na druhou. Vezmete polovinu tohoto a umocníte to. Toto děláme při doplnění na čtverec, aby se z toho stal čtverec dvojčlenu. Nemůžeme ale jen tak přičíst (b děleno (2 krát a)) na druhou k levé straně. Musíme to přičíst k oběma stranám. Takže zde také máme (b děleno (2 krát a)) na druhou. Co teď? Tento výraz odpovídá (x plus b děleno (2 krát a)) na druhou. Pokud mi nevěříte, roznásobím to. (x plus b děleno (2 krát a)) na druhou je (x plus b děleno (2 krát a)) krát (x plus b děleno (2 krát a)). x krát x je (x na druhou). x krát (b děleno (2 krát a)) je b děleno (2 krát a) krát x. Zde máme: b děleno (2 krát a) krát x, což je opět: b děleno (2 krát a) krát x. A pak: b děleno (2 krát a) krát b děleno (2 krát a), což se rovná (b děleno (2 krát a)) na druhou. Tamto a toto je vlastně to samé, protože tyto dva prostřední členy, b děleno (2 krát a) plus b děleno (2 krát a) odpovídá 2 krát b děleno (2 krát a) krát x, což je stejné jako (b děleno a krát x). To se zjednoduší na: (x na druhou) plus b děleno a krát x, plus (b děleno (2 krát a)) na druhou, což je přesně to, co je napsáno zde. Smyslem přičtení tohoto členu k oběma stranám bylo, aby se toto stalo čtvercem. Takže levá strana se zjednoduší na toto. Pravá strana není tak jednoduchá. Možná to nechme prozatím být. Ale pojďme to trochu zjednodušit. Pravou stranu můžeme přepsat. Toto se bude rovnat 'b na druhou'. Tento člen napíšu jako první. To bude 'b' (udělám to zeleně, abyste tomu lépe rozuměli). Takže tento člen můžeme napsat jako (b na druhou) děleno (4 krát a na druhou). A co tento člen? Co s ním? Aby bylo 4 krát (a na druhou) jmenovatelem, musíme vynásobit čitatele a jmenovatele číslem (4 krát a). Tento člen je tedy minus (4 krát a krát c) děleno (4 krát a na druhou). Sami si můžete vyzkoušet, že tamto a toto je to samé. Pouze jsem vynásobil čitatele a jmenovatele číslem (4 krát a). (4 krát a) se vykrátí a zbyde pouze (c děleno a). Takže toto a tamto je ekvivaletní. Pouze jsem obrátil pořadí. Už zde možná vidíte známky kvadratického vzorce. Toto můžu přepsat. To samé platí zde. Pravou stranu mohu přepsat jako (b na druhou minus 4 krát a krát c), děleno (4 krát a na druhou). Už jsme velmi blízko. Všimněte si, že už se vyskytuje (b na druhou) minus (4 krát a krát c). Ješte nemáme odmocninu, ale ještě jsme rovnici neodmocnili. Pojďme to tedy udělat. Po odmocnění celé rovnice dostaneme x plus (...) x plus b děleno (2 krát a) se rovná plus nebo minus druhá odmocnina tohoto. To se rovná druhé odmocnině čitatele dělené druhou odmocninou jmenovatele. To bude plus minus odmocnina (b na druhou) minus (4 krát a krát c) děleno odmocnina z (4 krát a na druhou). Co je odmocnina z (4 krát a na druhou)? Přece 2 krát 'a'. 2 krát 'a' na druhou je 4 krát 'a' na druhou. Odmocnina z tamtoho je pravě toto. Abych se dostal z tamté rovnice sem, pouze jsem celou rovnici odmocnil. Toto už se velice blíží vzorci. Už máme (b na druhou) minus (4 krát a krát c) děleno (2 krát a), stačí odečíst (b děleno (2 krát a)) a jsme hotovi. Pojďme to tedy udělat. Když odečteme (b děleno (2 krát a)) od obou stran rovnice, co dostaneme? 'x' se rovná -(b děleno (2 krát a)) plus minus odmocnina z (b na druhou minus 4 krát a krát c) děleno (2 krát a). Mají společného jmenovatele, to se tedy rovná '-b'. Udělám to jinou barvou. (...) -b plus minus (odmocnina b na druhou minus 4 krát a krát c) děleno (2 krát a). Jsme hotovi! Pomocí doplnění na čtverec 'c' a s obecnými koeficienty 'a', 'b', 'c' jsme odvodili vzorec pro kvadratickou rovnici. Snad vás to bavilo tak jako mě.
video