Kvadratické rovnice a funkce
Přihlásit se
Kvadratické rovnice a funkce (12/27) · 16:32

Diskriminant Vzorec pro výpočet kořenů kvadratické rovnice pomocí diskriminantu a ukázka jeho využití na příkladech.

Navazuje na Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou.
V tomto videu vám ukážu vzorec, který je přinejmenším jeden z pěti nejužitečnějších vzorců v matematice. A pokud jste už viděli některá moje videa, tak víte, že nejsem fanouškem učení se věcí nazpaměť. Ale doporučuji vám naučit se ho a upozorňuji vás, abyste si také zapamatovali, jak ho dokázat, protože nechci, abyste se pouze něco naučili a nevěděli, jak to vzniklo. Teď mi dovolte ukázat vám, o čem vlastně mluvím. Jde o vzorec pro určení kořenů kvadratické rovnice. Jak už asi tušíte, slouží k určení řešení neboli kořenů kvadratických rovnic. Pojďme se chvíli bavit obecně, potom vám ukážu nějaké příklady. Mějme tedy rovnici ve tvaru a(x na druhou) plus bx plus c rovná se 0. Měli byste to poznávat. Je to kvadratická rovnice, kde ‚a‘, ‚b‘ a ‚c‘ jsou… ‚a‘ je koeficient u x na druhou neboli kvadratický člen, ‚b‘ je koeficient u ‚x‘ neboli lineární člen a ‚c‘ je absolutní člen. Máme tedy obecnou kvadratickou rovnici a vzorec pro výpočet kořenů nám říká, že řešení rovnice ‚x‘ se rovná: -b plus minus odmocnina z (b na druhou minus 4ac) celé lomeno 2a. Vím, vypadá to šíleně složitě a obtížně na to, abyste si to hned zapamatovali, ale postupným procvičováním nakonec zjistíte, že je to pochopitelný vzorec, který vám uvízne v hlavě. Mohli byste si říct: „Kde se asi takový zvláštní vzorec vzal?“. V další části videa vám to ukážu. Ale nejdříve bych chtěl, abyste se ho naučili používat. Vznikl vlastně doplněním této rovnice na čtverec. Když to doplníte na čtverec, tak dostanete tento výsledek. a to je vzorec pro výpočet kořenů. Zkusme ho nyní použít na několika příkladech. Začněme něčím, co umíme rozložit, abychom ověřili, že dostáváme stejný výsledek. Mějme rovnici: x na druhou plus 4x minus 21 se rovná 0. V tomto případě… Napíšu to jinou barvou. V tomto případě se ‚a‘ rovná 1, že? Koeficient u x na druhou se rovná 1. b se rovná 4, koeficient u x, a c se rovná -21, absolutní člen. Dosaďme to do vzorce. Co dostaneme? Dostáváme x se rovná minus b… Minus b je -4, -b plus minus druhá odmocnina z b na druhou… B na druhou je 16, že? 4 na druhou je 16, minus 4 krát a, to je 1, krát c, což je -21. Napíšeme sem 21 a záporné znaménko se vyruší s tímto. Ukazujeme si to poprvé, tak nebudu přeskakovat více kroků. Tedy -21, abyste viděli, jak to zapíšeme a vše lomeno 2a. A je 1, takže lomeno 2. Teď to zkusíme zjednodušit. Dostaneme x se rovná -4 plus minus odmocnina z… Máme tu minus krát minus, tedy dohromady plus. Máme 16 plus… To je 6, 4 krát 1 jsou 4, krát 21 je 84. 16 plus 84 je 100. To je pěkné. To je pěkná mocnina. A to všechno lomeno dvěma. To se tedy rovná (-4 plus minus 10) lomeno 2. Vydělíme obě čísla 2. Dostáváme -4 děleno 2 je -2 plus minus, 10 děleno 2 je 5, 5. X se může rovnat -2 plus 5, což je 3, nebo se x může rovnat -2 minus 5, což je -7. Vzorec pro určení kořenů kvadratické rovnice nám dává tyto výsledky. Správnost můžeme snadno ověřit dosazením, nebo můžeme rozložit na součin tohle. Hledáme taková čísla, jejichž součin je -21 a součet je 4. Dostáváme (x plus 7) krát (x minus 3) se rovná -21. Všimněte si, že 7 krát -3 je -21 a 7 minus 3 jsou 4. Máme tedy x plus -- Pardon, není to -21. -- Rovná se to 0. Tady má být 0. (x plus 7) se rovná 0, nebo (x minus 3) se rovná 0. X se tedy může rovnat -7, nebo se x může rovnat 3. Dostáváme stejný výsledek jako při rozkladu na součin, takže byste se mohli ptát, proč se máme učit takový vzorec? Důvod, proč se zabývat takovým vzorcem, je to, že funguje i pro příklady, které by se rozkládaly na součin obtížně. Zkusme si některé z nich. Zkusme vyřešit některé obtížně rozložitelné příklady. Posunu se dolů, abych měl čistý prostor. Znovu zapíšu vzorec pro případ, že bychom si ho nepamatovali: x se rovná (-b plus minus odmocnina z (b na druhou minus 4ac)) lomeno 2a. Mějme dánu rovnici… Mějme rovnici 3(x na druhou) plus 6x se rovná -10. První, co musíme udělat, je převést všechny výrazy na levou stranu. K oběma stranám rovnice přičteme 10. Dostaneme 3(x na druhou) plus 6x plus 10 rovná se 0. A nyní můžeme použít vzorec pro výpočet kořenů kvadratické rovnice. Tak ho použijme. ‚A‘ je 3. Toto je ‚a‘, toto je ‚b‘, a tady je ‚c‘. Vzorec pro výpočet kořenů nám určuje řešení rovnice. Kořeny této kvadratické rovnice. x se rovná -b, b je 6, takže -6, plus minus odmocnina z b na druhou, b je 6, tedy 6 na druhou minus 4 krát a, což je 3, krát c, a to je 10. Protáhněme trochu odmocninu, a vše lomeno 2a, tedy 2 krát 3. Dostáváme x se rovná -6 plus minus odmocnina z 36 minus… Toto je zajímavé, minus 4 krát 3 krát 10. To je -4 krát 3 krát 10. To je -120. To celé lomeno 6. To je zajímavé a vy už možná víte proč. Jak se nám to zjednoduší? 36 minus 120 je kolik? To je 84. To je 120 minus 36… Převedeme to na 10, z toho se stane 11 a tohle je 4. Je to 84, takže se to rovná -6 plus minus odmocnina z… Ale ne 84, to by bylo kdybychom odčítali 120 minus 36. Máme 36 minus 120. Bude to tedy -84 a to celé lomeno 6. Mohli byste říct, to je šílené. Jaký hloupý vzorec nám to tady ukazuješ, Sale? Je k ničemu. Právě mi vyšla druhá odmocnina ze záporného čísla. To nedává žádný výsledek. Nedostáváme žádný výsledek, tedy alespoň ne ten, co bychom chtěli, protože to nemá žádné reálné řešení. Později se seznámíme s imaginárním číslem, které je odmocninou ze záporného čísla, a pak to budeme schopni vyjádřit pomocí těchto čísel. Takže tato rovnice má vlastně řešení, ale potřebujeme k tomu imaginární čísla. Tedy rovnice nemá žádné reálné řešení, když odmocňujeme záporné číslo. B na druhou minus 4ac, je záporný, tak nedostanete žádné reálné řešení. Zkusme si to ověřit. Vezměme si grafickou vykreslující kalkulačku a zobrazme si graf. Zobrazme graf funkce y se rovná… -- To jsem psal předtím. -- 3(x na druhou) plus 6x plus 10. To je naše rovnice a uvidíme, kde graf protíná osu x. Kde se funkce rovná nule? Zobrazme si graf. Vidíte, graf klesá a pak zase roste. Vrchol je přímo tady nad osou x a graf je otočený vrcholem dolů. Nikdy se neprotne s osou x. Tato funkce se nikdy nebude rovnat 0. Na tomto grafu není y rovno nule pro žádné ‚x‘. Znovu vidíme, že vzorec opravdu funguje. Uděláme ještě jeden příklad, nikdy jich není dost. A znovu udělám takový, který není tak snadný rozložit na součin. Mějme -3(x na druhou) plus 12x plus 1 je rovno 0. Zkusme to vyřešit pouze za pomoci vzorce pro výpočet kořenů. X, které vyhovuje této rovnici, se rovná -b… Toto je b, tedy minus b je -12 plus minus odmocnina z b na druhou, tedy ze 144, minus 4 krát a, to je -3, krát c tedy 1, celé lomeno 2 krát a, tedy lomeno 2 krát -3. Celé lomeno -6. To se rovná -12 plus minus odmocnina… Z čeho? Minus krát minus se vyruší. Máme 144 plus 12, tedy 156. 144 plus 12, to celé lomeno -6. A teď se pokusíme zjednodušit 156. Možná bychom to mohli částečně odmocnit. Pokusme se o to. Rozložme 156 na součin prvočísel. Odmocnění bývá občas ta nejtěžší část. 156 je 2 krát 78. 78 je 2 krát co? To je 2 krát 39. Odmocnina ze 156 se rovná odmocnině z (2 krát 2 krát 39), nebo můžeme říct odmocnině z (2 krát 2) krát (odmocnina z 39). To je evidentně odmocnina ze 4, nebo odmocnina z (2 krát 2), 2 krát odmocnina z 39, Jestli jsem to udělal správně, 4 krát 39, ano, vypadá to, že je to správně. Toto zjednodušíme na -12 plus minus 2 krát odmocnina z 39, celé lomeno -6. Nyní můžeme vydělit čitatele a jmenovatele třeba 2. Bude se to tedy rovnat -6 plus minus odmocnina z 39, celé lomeno -3. Nebo bychom mohli tyto dva výrazy rozdělit. Můžeme říct, že toto se rovná -6 lomeno -3 plus minus odmocnina z 39 lomeno -3. Tohle je rovno 2, že? Minus se vyruší a 6 děleno 3 jsou 2, dostáváme tedy 2. Všimněte si: když toto je plus a my použijeme znaménko minus, plus se změní na minus a záporné se změní na kladné. Ale to vlastně nevadí. Můžeme říct minus nebo plus, a je to stejné jako plus nebo minus odmocnina z 39 lomeno 3. Myslím, že tento výsledek už víc nezjednodušíme. Ještě chci znovu ujasnit, co jsem udělal v posledním kroku. Nezapomněl jsem na záporné znaménko, jen jsem řekl, že na něm nezáleží. Změní plus na minus a minus na plus. Ještě to přepíšu. Toto můžeme přepsat jako 2 plus odmocnina z 39, lomeno -3, nebo 2 minus odmocnina z 39 lomeno -3, že? To je to, co plus minus znamená. Může to být to nebo ono nebo obojí. V tomto případě se -3 změní na 2 minus odmocnina z 39 lomeno 3. Pouze odeberu znaménko minus. Minus a minus dá dohromady plus, a dostaneme 2 plus odmocnina z 39 lomeno 3. Minus krát minus dá plus. Tedy znovu máme 2 plus minus odmocnina z 39 lomeno 3. 2 plus minus odmocnina z 39 lomeno 3 jsou řešením rovnice. Ještě si to ověřme. Jsem jen zvědavý, jak vypadá graf. Podívejme se, jak to bude vypadat. Smažu předchozí zápis. Kde mám tlačítko? Máme -3(x na druhou) plus 12x plus 1. Zobrazme graf. A vidíme, kde protíná osu x. Graf roste a potom klesá. Tedy 2 plus minus odmocnina… Vidíte, že odmocnina z 39 je o trochu větší než 6, že? Protože 36 je 6 na druhou. Je to o něco větší než 6, takže tohle bude o něco větší než 2. Něco většího než 6 děleno dvěma je o něco větší než 2. Dostaneme jednu hodnotu, která je o trochu větší než 4 a druhou hodnotu, která je o něco menší než 1. Vypadá to, že je to ono. Máme zde 1, 2, 3, 4… Máte hodnotu, která je dost blízko 4 a hodnotu, která je blízko 0, ale možná o něco méně. Doufám, že vzorce pro výpočet kořenů kvadratické rovnice se vám bude hodit.
video