Kvadratické rovnice a funkce
Přihlásit se
Kvadratické rovnice a funkce (19/27) · 5:53

Aplikace příkladu s kvadratickou rovnicí Ptáte se, kde se v praxi dá využít výpočet kořenů kvadratické rovnice? Tak například, když šikmým vrhem hodíte míč z budovy a chcete znát jeho výšku v určitém čase.

Navazuje na Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou.
Házíme koulí do vzduchu z okraje budovy, 50 stop nad zemí. Její počáteční rychlost je 20 stop za sekundu. Rovnice "h (výška) se rovná -16t na druhou + 20t + 50" může být použita ke zjištění výšky koule po 't' sekundách. Myslím, že se zde po nás chce, abychom prostě přijali tento vzorec. I když si takové vzorce odvozujeme a ve fyzikálním playlistu Khanovy školy si ukazujeme, proč to funguje pro tenhle druh příkladů, tady prostě poplujeme s proudem. Máme rovnici, kterou používáme na zjištění výšky koule po 't' sekundách, a pak řekneme, jak dlouho bude trvat, než koule dopadne na zem. Takže pokud tohle je výška, tak na zemi je výška rovna 0. Takže dopadnout na zem doslovně znamená, že 'h' (výška) je rovna 0. Potřebujeme zjistit, v jakém čase je 'h' (výška) rovna 0. Řešíme tedy rovnici 0 rovná se -16t na druhou plus 20t plus 50. A pokud to chceme zjednodušit... Můžeme vidět, že každé číslo je dělitelné alespoň 2. Vydělme celou rovnici -2, abychom se zbavili záporného koeficientu. Takže pokud vydělíme levou stranu -2, opět dostaneme 0. -16 děleno -2 je 8, takže 8t na druhou. 20 děleno -2 je -10. Minus 10t. 50 děleno -2 je minus 25, a to je rovné 0. Pokud chcete, můžeme dát výraz na levou stranu. Můžeme říci, že se to rovná nule. A teď řešíme... Můžeme dokončit tuto mocninu, nebo použijeme kvadratickou rovnici, která je odvozena z doplnění na čtverec. Máme to ve standardní formě, víme, že tohle je naše 'a', tohle je naše 'b' a tohle je naše 'c'. Kvadratická rovnice říká, že kořeny, v tomto případě proměnné 't', budou rovné -b plus nebo minus druhá odmocnina z (b na druhou minus 4ac) to celé lomeno 2a. Po použití dostaneme 't' rovno -'b'... 'b' je -10, takže minus minus 10 bude plus 10, plus nebo minus druhá odmocnina z -10 na druhou, to je +100, - 4a, což je 8, krát c, což je -25, a to celé lomeno 2a. 'a' je 8, takže 2a je 16. A tady máme záporné znaménko záporné krát záporné... Takže to bude +4 krát 25, což je 100. 100 krát 8 je 800. To všechno se zjednoduší na 800 a pod odmocninou máme 100 plus 800, takže 10 plus nebo minus druhá odmocnina z 900, to celé lomeno 16. To je rovné 10 plus nebo minus 30 lomeno 16, a dostaneme čas rovný 10 plus 30 lomeno 16. 40 lomeno 16 je to samé, jako když vydělíme čitatele a jmenovatele 4, což je 10 lomeno... Nebo ještě lépe, vydělíme 8, to je 5 lomeno 2. Tohle je jedno řešení, kdy připočteme 30. Pokud odečteme 30, tak 't' se rovná 10 minus 30, což je -20 lomeno 16. Vydělíme čitatel a jmenovatel 4 a dostaneme -5 lomeno 4. Vzpomeňme si, snažíme se zjistit čas, a tak čas, alespoň v tomto příkladu, může být pouze kladné číslo. Chceme zjistit, jak dlouho to potrvá, než koule dopadne na zem. Nechceme se vracet zpátky v čase, nechceme záporný čas. Proto budeme přemýšlet jen nad kladným výsledkem, a to nám říká, že jediný správný kořen je 5/2. Musíme předpokládat, že je v sekundách, takže 5/2 sekund. Nemusíme se tady příliš zatěžovat fyzikou, požadují od nás pouze aplikování kvadratické rovnice do této modelové situace. Ve fyzikálním playlistu se podíváme do větší hloubky. Pojďme si ale ověřit, že se určitě budeme nacházet ve výšce 0 v čase 5/2 sekund. Takže pokud se 't' rovná 5/2, tak tento výraz je roven nule. Vyzkoušejme to. -16 krát 5/2 na druhou plus 20 krát 5/2 plus 50. To musí být rovné 0. Takže tohle je -16 krát 25 lomeno 4 plus 50 plus 50 se rovná 0. -16 lomeno 4 je -4. 4 lomeno 4 je 1. Takže pokud -4 krát 25 je 100, plus 50... Pardon, -4 lomeno 25 je -100, plus 50 plus 50 se rovná 0. Takže máme -100 plus 100, to bude určitě rovné 0. Dostaneme 0 se rovná 0 a všechno to sedí. Dopadneme na zem po 5/2 sekund, nebo jinak, po 2,5 sekundách.
video