Kvadratické rovnice a funkce
Přihlásit se
Kvadratické rovnice a funkce (5/27) · 3:55

Substituce Některé speciální typy kvadratických rovnic lze také řešit pomocí substituce, neboli nahrazování.

Navazuje na Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou.
Pojďme najít řešení k této rovnici. Máme zde veličinu (2x minus 3) na druhou, která je rovna 4x minus 6. Zde radím pozastavit video a zkusit najít řešení. Dám vám malou nápovědu. Můžete na to jít tradiční cestou, roznásobením rovnice, a poté její proměnou do klasické kvadratické formy. Ale možná je tu ještě rychlejší nebo jednodušší cesta, pokud si všimnete struktury obou stran rovnice. Tak se na to podívejme. Máme zde (2x minus 3) na druhou na straně levé. Na pravé straně se nachází 4x minus 6. 4x minus 6 je dvojnásobkem 2x minus 3. Abychom si to ujasnili: Je to to stejné jako (2x minus 3) na druhou je rovno 4x minus 6, pokud vytknu 2. Což je 2 krát (2x minus 3). A to je hodně zajímavé. Máme zde něco na druhou, což se rovná dvakrát něčemu jinému. Pokud bychom tohle "něco" vyřešili... Abych to ujasnil, zde to, co je označené modře na druhou, je rovno dvakrát tomuto v modrém. Takže pokud vyřešíme, čemu se to modré rovná, poté můžeme vyřešit 'x'. A to vám teď ukážu. Řekněme, že prostě nahradíme 2x minus 3. Uděláme trochu substituce. Nahraďme to modré písmenem 'p'. Řekněme, že 'p' je rovno 2x minus 3. Tato operace nám rovnici krásně zjednoduší. Levá strana se promění v 'p' na druhou. 'p' na druhou se rovná 2 krát 'p'. Protože, opakuji, 2x minus 3 je 'p'. 2 krát 'p'. A teď musíme vyřešit 'p'. Teď budu vše psát stejnou barvou. Můžeme to napsat jako... Pokud odečteme 'p' od obou stran rovnice, zjistíme, že 'p' na druhou minus 2p se rovná nule. Můžeme vytknout 'p', čímž získáme p (p minus 2) je rovno nule. A to už jsme viděli mnohokrát. Pokud máme násobek dvou veličin, které se rovnají nule, alespoň jedna z nich se musí rovnat nule. Tedy, buď se 'p' rovná 0, nebo se 'p' minus 2 rovná 0. Pokud se 'p' minus 2 rovná 0, poté se 'p' musí rovnat 2. V tom případě se 'p' rovná buď 0, nebo se 'p' rovná 2. Tím ale ještě nekončíme, protože jsme chtěli vyřešit hodnotu 'x', a nikoliv 'p'. Naštěstí ale už víme, že se 2x minus 3 rovná 'p'. Můžeme tedy říct, že buď se 2x minus 3 rovná této hodnotě 'p', která je rovna 0, nebo se 2x minus 3 rovná následující hodnotě 'p', která je rovna 2. Toto řešení bylo vcelku přímočaré. Přidejte 3 na obě strany a vyjde vám, že 2x se rovná 3. Vydělte obě strany dvěma a zjistíte, že se 'x' rovná 3/2. Anebo zde, pokud přičteme 3 na obě strany, vyjde nám, že 2x je rovno 5. Vydělte obě strany dvěma a zjistíte, že se 'x' rovná 5/2. Zde tedy máme možná řešení, a došli jsme k nim docela šikovně. Co jsme tu teď vypočítali, byste zvládli udělat i z hlavy. Je to pěkné a jednoduché. Pokud byste zde zvolili násobení a zde poté vytýkání, byl by třeba komplexnější set operací, které by bylo nutno udělat. Snad byste se dobrali správných výsledků, vyžadovalo by to ale mnohem víc kroků. Zde jsme si všimli určitých vzorců, které jsme našli v naší rovnici. Především zde máme danou hodnotu na druhou. A poté 2 krát to stejné, 2 krát 2x minus 3.
video