Kvadratické rovnice a funkce
Přihlásit se
Kvadratické rovnice a funkce (6/27) · 14:06

Doplnění na čtverec Nejen při výpočtu kořenů kvadratické rovnice se často používá takzvané doplnění na čtverec. Jak se při něm postupuje se dozvíme z tohoto videa.

Navazuje na Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou.
... V tomto videu vám ukážu metodu jménem doplnění na čtverec. A co je na ní skvělé, je, že funguje pro jakoukoliv kvadratickou rovnici a je to základ pro kvadratický vzorec. A v dalším videu nebo ve videu následujícím dokážu kvadratickou rovnici pomocí doplnění na čtverec. Ale než to uděláme, musíme porozumět tomu, o čem to všechno je. A stavíme jenom na tom, co jsme dělali v posledním videu, kde jsme řešili kvadratiku pomocí úplných čtverců. Řekněme, že mám kvadratickou rovnici x na druhou minus 4x se rovná 5. Tento prostor sem dávám záměrně. V posledním videu jsme viděli, že tyto rovnice mohou být jednoduché, když je levá strana úplný čtverec. Doplnění na čtverec spočívá v tom, že vytvoříme z kvadratické rovnice úplný čtverec, upravíme ji, přičteme hodnoty k oběma stranám nebo je od nich odečteme tak, aby vznikl úplný čtverec. A jak to uděláme? Aby byla levá strana úplný čtverec, musí být nějaké číslo tady. Nějaké číslo tu musí být, aby, když mám svoje číslo na druhou, dostanu toto číslo, a také, když mám své číslo dvakrát, dostanu -4. Pamatujte si to. Myslím, že to bude jasné po několika příkladech. Chci, aby x na druhou minus 4x plus něco bylo rovno x minus a na druhou. Ještě nevíme, co je 'a', ale víme několik věcí. Když dám něco na druhou... Takže tohle bude x na druhou minus 2a plus a na druhou. Takže když se podíváte na tento vzor tady, musí to být... Omlouvám se, x na druhou minus 2ax... Tohle musí být 2ax. A tohle tady by muselo být 'a' na druhou. Takže toto číslo, 'a', bude polovina z -4, 'a' tedy musí být -2, že ano? Protože 2 krát 'a' bude -4. 'a' je tedy -2, a co je potom 'a' na druhou? 'a' na druhou bude 4. Tohle se vám nyní může zdát komplikované, ale ukazuji vám zdůvodnění. Opravdu se jenom podíváte na tento koeficient tady a řeknete si, dobře, co je polovina koeficientu? Polovina koeficientu je -2. Takže můžeme říct, že 'a' je rovno -2. To stejné platí tady. A když to dáte na druhou, dáte 'a' na druhou, dostanete 4. Takže přidáme 4 sem. Přidáme 4. Od první rovnice, kterou jsme kdy dělali, byste měli vědět, že nikdy nemůžete něco dělat pouze s jednou stranou rovnice. Nemůžete přidat 4 pouze na jednu stranu rovnice. Kdyby x na druhou minus 4x bylo 5 a pokud bych přičetl 4, nebylo by to už rovno 5. Rovnalo by se to 5 plus 4. Přidali jsme 4 na levou stranu, protože jsme chtěli mít úplný čtverec. Ale když přidáte něco na levou stranu, musíte to přidat i na pravou stranu. A nyní máme příklad stejný jako ten v předchozím videu. Co je tato levá strana? Přepíšu to celé. Máme x na druhou minus 4x plus 4 je nyní rovno 9. Pouze jsme přidali 4 na obě strany rovnice. Ale přidali jsme 4, aby tato levá strana byla úplný čtverec. A co je toto? Které číslo, vynásobeno samo sebou, je rovno 4, a když je sečteno samo se sebou, je rovno -2? Na to už jsme odpověděli. Je to -2. Takže máme x minus 2 krát x minus 2 je rovno 9. Nebo to můžeme přeskočit a napíšeme x minus 2 na druhou je rovno 9. A potom, když si vezmete odmocniny z obou stran, dostanete x minus 2 je rovno plus nebo minus 3. Přičtěte 2 k levé i pravé straně a dostanete x je rovno plus nebo minus 3. To nám říká, že 'x' může být rovno 2 plus 3, což je 5. Nebo 'x' může být rovno 2 minus 3, což je -1. A jsme hotovi. Abych to teď zcela ujasnil. Mohli jste to udělat bez doplnění na čtverec. Mohli jsme začít s x na druhou minus 4x je rovno 5. Mohli jsme z obou stran odečíst 5 a dostat x na druhou minus 4x minus 5 je rovno 0. A mohli jsme říct, že když máme -5 krát +1, potom je výsledek -5 a jejich součet -4. Takže mohu říct, že x minus 5 krát x plus 1 se rovná 0. A potom můžeme říct, že x je rovno 5, nebo x je rovno -1. A v tomto případě by tento způsob byl dokonce rychlejší cestou, jak vyřešit příklad. Ale výhoda na doplnění na čtverec je, že funguje vždy. Vždy funguje nezávisle na tom, jaký je koeficient nebo jak složitý je příklad. A já vám to dokážu. Udělejme jeden, který by tradičně byl docela složitý na vyřešení, pokud bychom použili faktorizaci, a zejména sdružování nebo něco podobného. Řekněme, že máme 10x na druhou minus 30x minus 8 je rovno 0. Hned od začátku byste mohli říct, že můžeme vydělit obě strany 2. To nám příklad trochu zjednoduší. Vydělme obě strany 2. Když vydělíte všechno 2, co dostanete? Dostaneme 5x na druhou minus 15x minus 4 je rovno 0. Ale znovu, teď tu máme složitou pětku před tímto koeficientem a museli bychom to vyřešit sdružováním, což je dost obtížná metoda. Ale nyní můžeme jít rovnou na doplnění na čtverec. Abych doplnil na čtverec, budu dělit pěti, a dostanu tak 1 jako hlavní koeficient tady. A uvidíte, že je to jiné, než co jsme tradičně dělali. Takže když to celé vydělím pěti... Mohl jsem to prostě vydělit deseti na samém začátku, ale chtěl jsem nejdřív udělat tento krok, abych vám ukázal, že nám tohle nic neusnadní. Vydělme všechno pěti. Když vydělíte všechno pěti, dostanete x na druhou minus 3x minus 4/5 je rovno 0. Můžete se zeptat, proč vůbec děláme faktorizaci pomocí sdružování? Vždyť můžeme vždy vydělit hlavním koeficientem a zbavit se tohoto. Můžeme tohle vždy přeměnit na 1 nebo -1, když dělíme správným číslem. Všimněte si ale, že tím dostaneme tento nepříjemný zlomek 4/5. Je tedy velice složité řešit to jen pomocí faktorizace. Musíte se zeptat, která dvě čísla, když vezmu produkt (součin), se rovnají -4/5? To je zlomek. A když vezmu jejich součet, se rovnají -3? Toto je složitý problém pro faktorizaci. Je složité použít na to faktorizaci. Nejlepší věc je doplnit na úplný čtverec. Přemýšlejme chvíli nad tím, jak to přeměnit na úplný čtverec. Co chci udělat... A uvidíte to provedené dvěma způsoby a ukážu vám oba, protože učitelé oba používají. Chci dostat 4/5 na druhou stranu. Takže přičtu 4/5 k oběma stranám rovnice. Nemusíte to dělat tímto způsobem, ale chci se zbavit těch 4/5. A co dostaneme, když přičteme 4/5 k oběma stranám rovnice? Levá strana rovnice bude x na druhou minus 3x, žádné 4/5 tady nejsou. Nechám tu trochu prostoru. A to bude rovno 4/5. Stejně jako u posledního příkladu, chceme tuto levou stranu proměnit na úplný čtverec. Jak to uděláme? Zeptáme se, jaké číslo krát 2 je rovno -3? Některá čísla krát 2 se rovnají -3. Nebo jednoduše vezmeme -3 a vydělíme to 2, což je -3/2. A dáme -3/2 na druhou. V tomto případě řekneme, že 'a' je -3/2. A co dostaneme za -3/2 na druhou? Dostaneme 9/4. Vzal jsem polovinu tohoto koeficientu na druhou a dostal 9/4. Celý účel je proměnit tuto levou stranu na úplný čtverec. Cokoliv uděláte jedné straně, musíte udělat i na té druhé. Takže jsme přičetli 9/4 tady, přičteme 9/4 i tady. A co z toho vznikne? Dostaneme x na druhou minus 3x plus 9/4 se rovná... Zkusíme dostat společný jmenovatel. 4/5 je totéž jako 16/20. Vynásobíme čitatel a jmenovatel 4. Plus jmenovatel 20. 9/4 je totéž (když vynásobíte čitatel 5) jako 45/20. A co je 16 plus 45? Začíná to být trochu zamotané, ale to je ta zábava, myslím, doplňování na čtverec. 16 plus 45. To je 55... 61. Takže tohle se musí rovnat 61/20. Takže to jenom přepíšu. x na druhou minus 3x plus 9/4 je rovno 61/20. Šílené číslo. Nyní tohle, alespoň na levé straně, je úplný čtverec. Toto je to samé jako x minus 3/2 na druhou. A to bylo záměrem. -3/2 krát -3/2 je 9/4. -3/2 plus -3/2 je rovno -3. Takže toto na druhou je rovno 61/20. Můžeme vzít odmocninu z obou stran a dostaneme x minus 3/2 je rovno plus nebo minus odmocnina z 61/20. A nyní můžeme přičíst 3/2 k oběma stranám rovnice a dostaneme x je rovno 3/2 plus nebo minus odmocnině z 61/20. A toto je šílené číslo a snad je vám jasné, že by nebylo možné (tedy alespoň já bych nebyl schopen) dostat se k tomuto číslu pouze pomocí faktorování. A jestli chcete jejich opravdové hodnoty, můžete si vzít kalkulačku. ... A všechno tohle vymažu. ... A 3/2... Udělejme kladnou verzi první. Takže chceme 3 vydělit 2 plus druhá odmocnina. Chceme si vybrat tu malou žlutou odmocninu. Takže odmocnina z 61 děleno 20, což je 3,24. To je šílených 3,2464, já napíšu 3,246. To je zhruba rovno 3,246 a to byla pouze kladná verze. Zkusme možnost z odečtením. Náš druhý vstup... Jestli dáte druhý a potom zadáte, že chceme ten žlutý vstup, to je, proč jsem zvolil to druhé tlačítko. Zmáčknu enter, zadá to, co jsme zadali, a my můžeme prostě změnit to kladné, nebo přičítání na odečítání, a dostaneme -0,246. Máme -0,246. A můžeme si ověřit, že toto sedí na naši původní rovnici. Naše rovnice byla tady. Ověřím to jenom pro jeden způsob. ... Takže druhá odpověď na vaší grafické kalkulačce bude poslední výsledek, který používáte. Takže když použijete proměnnou "výsledek", to je toto číslo tady. Když máme výsledek na druhou... Používám výsledek reprezentující -0,24. Výsledek na druhou minus 3 krát výsledek minus 4/5... 4 děleno 5... Rovná se... A tohle je jen trochu vysvětlení. Toto nezachová celé číslo, jde to pouze do určité míry přesnosti. Zachová to jen několik číslic. Takže když se to vypočítalo za pomoci tohoto čísla tady, dostalo to 1 krát 10 na -14. To je 0,0000... A to je 13 nul a potom 1. Desetinná čárka, potom 13 nul a 1. A to je v podstatě 0. Nebo, kdybyste tady měli přesný výsledek a probrali se nekonečnou úrovní přesnosti, nebo možná, kdybyste to nechali ve tvaru odmocniny, dostanete, že je to opravdu rovno 0. Doufám, že vám toto bylo užitečné, tento celý proces doplnění na úplný čtverec. A nyní to rozvineme na opravdový kvadratický vzorec, který můžeme jednoduše dosadit a vyřešit tím jakoukoliv kvadratickou rovnici. ...
video