Kvadratické rovnice a funkce
Přihlásit se
Kvadratické rovnice a funkce (21/27) · 8:29

Kvadratická funkce 2 Ještě jednou si ukážeme, jak lze nakreslit graf kvadratické funkce. Stačí naleznout její vrchol a kořeny, které představují průsečíky grafu s osou x.

Navazuje na Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou.
Mám tu funkci definovanou jako x na druhou minus 5x plus 6. A rád bych, abychom zapřemýšleli, jakými jinými způsoby tuto funkci můžeme zapsat, pokud bychom chtěli zjistit, kdy se tato funkce rovná 0. Pokud chceme zjistit průsečík této funkce s osou x, jakým způsobem bychom tuto funkci zapsali? A pak ještě jiným způsobem, díky kterému bychom našli minimální hodnotu tohoto výrazu. Můžeme vidět, že člen 'x na druhou' je kladný. Tohle bude parabola otevírající se směrem nahoru. Ale kde má tento výraz minimum? Nebo ještě lépe, kde má tato parabola vrchol? Pokud ta funkce vypadá nějak takhle, mohli bychom použít jeden z výrazů funkce, abychom zjistili, kde funkce protíná osu x. Takže kde ta funkce protíná osu x? A možná můžeme výraz funkce trochu pozměnit, abychom zjistili, kde má minimum. Co je tento bod na této funkci? Já ani nevím, jestli ta funkce takhle vypadá. A proto video pozastavte a pokuste se tohle přepsat do dvou různých výrazů. Tak to pojďme zkusit. Abychom našli kořeny funkce, nejjednodušší mi připadá pokusit se rozložit tenhle kvadratický výraz, který nám funkci definuje. Tak můžeme zapřemýšlet, řekněme, zapřemýšlejme o dvou číslech, jejichž součinem je +6 a jejichž součtem je -5. A protože jejich součin je kladný, víme, že tato dvě čísla mají stejné znaménko. A pokud mají stejné znaménko, ale dostáváme zápornou hodnotu, znamená to, že obě čísla musí být záporná. Tak se podívejme: -2 krát -3 se rovná +6. -2 plus -3 se rovná -5. A tak můžeme přepsat funkci 'x'. A tak já to napíšu takhle. Můžeme napsat, že f(x) se rovná (x minus 2) krát (x minus 3). Jak nám toto pomůže zjistit, kdy se funkce rovná nule? No, v jakých případech se tento výraz napravo... se tento výraz napravo bude rovnat 0? No, je to součin těchto dvou výrazů. Pokud se jeden z nich rovná 0, 0 krát cokoliv se rovná 0. 0 krát cokoliv jiného se rovná 0. Takže celý tento výraz se bude rovnat nule, pokud (x minus 2) se rovná 0, nebo když (x minus 3) se rovná 0. Přičtěte 2 k oběma stranám této rovnice. Dostanete x se rovná 2 nebo x se rovná 3. A tak můžete říct, že tohle jsou dva body, ve kterých se funkce rovná nule. A už bychom mohli přemýšlet, jak by tohle vypadalo graficky. Tak k tomuhle zkusme načrtnout graf. Takže tohle je 'x se rovná 1'. Tohle je 'x se rovná 2'. Tady toto je 'x se rovná 3'. A to je naše osa x. Tohle, mohli byste říct, je naše osa 'y' se rovná f(x). A vidíme, že se protneme tady i tady. Když se 'x' rovná 2, tato f(x) se rovná 0. Když 'x' se rovná 3, f(x) se rovná 0. A vy můžete vložit jednu z těchto hodnot do původního výrazu a vidět, že vám to dá 0, protože je to stejné jako tohle. Teď, co vrchol funkce? Jakým způsobem můžeme zapsat původní výraz, abychom našli vrchol funkce? No, už jsme trochu seznámení s doplněním na čtverec. A když tento výraz doplníte na čtverec, to se zdá jako docela dobrý způsob, jak přemýšlet o tom, jaké je minimum této funkce. Tak to tady pojďme udělat. Já to tady jen přepíšu. Takže máme f(x) se rovná x na druhou minus 5x. A já to "plus 6" napíšu hned tady vedle. A nechávám si tady trochu místa, protože to, co potřebuji udělat, to, co plánuji udělat, je přičíst a odečíst tu samou hodnotu. Takže já ji přičtu tady a odečtu tam. A to můžu udělat proto, že jsem tím přidal jen 0. Nezměnil jsem tím hodnotu pravé strany té rovnice. Chci to ale udělat tak, aby tahle část, kterou jsem podtrhl touhle fialovou barvou, aby tahle část byla perfektní čtverec. A to už jsme dělali několikrát, doplňování na čtverec. Na zopakování si můžete projít některá z těch předchozích videí. Ale hlavní myšlenka je, že toto bude perfektní čtverec, když vezmeme tento člen. Vezmeme -5. Vezmeme 1/2 z něj, což je -5/2, a umocníme ji na druhou. A tak to můžeme napsat jako plus... kolik je (-5/2) na druhou? Takže můžu napsat (-5/2) na druhou. Druhá mocnina záporného čísla bude vždycky kladná. Takže to bude stejné jako (5/2) na druhou. 5 na druhou se rovná 25. 2 na druhou jsou 4. Takže tohle bude +25/4. Teď, ještě jednou, pokud chceme, aby tahle rovnost platila, musíme buď přičíst stejnou hodnotu k oběma stranám, nebo, když pracujeme pouze s jednou stranou a přičetli jsme to k ní, musíme to od ní také odečíst. A tak jsme nezměnili celkovou hodnotu té strany rovnice. Tak jsme přičetli 25/4, a odečetli 25/4. Takže co je tady tahle část? Co se stane z téhle části, z té podtržené fialově? No, tohle bude... Celý důvod, proč jsme to udělali takhle, je, že tohle můžeme napsat jako (x minus 5/2) na druhou. A ověřte si, že to tak je. A my jdeme více do detailů o tom, proč, když bereme 1/2 toho členu tady, umocníme ho na druhou, přičteme ho tady a odečteme tam, proč to vlastně funguje. Zabýváme se tím ve videích o doplnění na čtverec. Ale u těchto dvou věcí, si můžete ověřit, že jsou si rovné. Tak to byla první část. Teď musíme zjednodušit 6 minus 25/4. Takže 6 by se měla napsat jako 24/4. 24/4 minus 25/4 je -1/4, takže napíšeme -1/4. A tak jsme přepsali naši původní funkci jako f(x) se rovná (x minus 5/2) na druhou minus 1/4. Teď, co je na tomto výrazu zajímavé? No, jeden způsob, jak o téhle části přemýšlet, je, že vždycky bude nezáporná. Minimální hodnota téhle fialové části bude 0. Proč? Protože to umocňujeme na druhou. Když máte něco jako tohle (a my se zabýváme jen reálnými čísly) a umocňujete to na druhou, nemůžete dostat záporné číslo. Minimální hodnota, kterou můžete dostat, je 0. A taky to může nabývat kladných hodnot, samozřejmě. Takže když chceme přemýšlet o tom, kdy tenhle výraz nabývá svého minima... No, nabývá svého minima, když budete umocňovat 0. A kdy umocňujete 0? Umocňujete 0, když 'x' minus 5/2 se rovná nule, nebo když 'x' se rovná 5/2, pokud jen přičtete 5/2 k oběma stranám rovnice. Takže tenhle výraz nabývá svého minima, když 'x' se rovná 5/2. A kolik je 'y', nebo co je hodnota f(x), když 'x' se rovná 5/2? Funkce 5/2... A ještě jednou, můžete použít jakýkoliv z těchto výrazů, abyste našli hodnotu funkce 5/2. Ale s tímto výrazem je to opravdu jednoduché. Když 'x' se rovná 5/2, tenhle člen tady se bude rovnat 0. 0 na druhou se rovná 0. Takže vám zůstane jen -1/4. Takže další způsob, jak přemýšlet o našem vrcholu, je, že když 'x' se rovná 5/2, 'y' se rovná -1/4. Takže 'x' se rovná 5/2. To je to samé jako 2 a 1/2. Takže 'x' se rovná 5/2. A 'y' se rovná -1/4. Takže jestli tohle je -1, 1/4 je někde tady. Takže tohle je náš vrchol. To je ten bod... Abychom byli přesní, to je bod (5/2, -1/4). A super je, že jsme využili tenhle zápis, abychom našli minimum a abychom v tomhle případě našli vrchol. A pak můžeme použít kořeny, jako dva další body, abychom dostali hrubou představu o tom, jak tato parabola bude vlastně vypadat. Takže to, co byste si měli z videa odnést, je uvědomění, že můžeme tohle napsat různými způsoby podle toho, čemu se snažíme porozumět nebo co se o této funkci snažíme zjistit.
video