Kvadratické rovnice a funkce
Přihlásit se
Kvadratické rovnice a funkce (22/27) · 8:39

Modelování růstu populace komárů pomocí kvadratické rovnice Další aplikační příklad, ve kterém využijeme znalosti řešení kvadratické rovnice. Počet komárů v tomto příkladě závisí kvadraticky na dešťových srážkách a na nás je vyřešit několik úkolů.

Navazuje na Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou.
Počet komárů v milionech, 'm', (takže 'm' je počet komárů v milionech) v Brooklynu, New Yorku, závisí na množství červencových srážek v centimetrech, 'r', (takže 'r' je množství srážek měřené v centimetrech) a může být popsané funkcí 'm'. Takže počet komárů v milionech je roven -r krát (r minus 4), kde 'r' je, ještě jednou, množství srážek v centimetrech, nejspíš v červnu. Dobrá, nyní se podívejme, zda umíme odpovědět na tyto otázky. A jako vždy vás vyzývám k tomu, abyste se zamysleli a pokusili se odpovědět na tyto otázky sami. Dobrá tedy, první. Kolik centimetrů srážek... Po kolika centimetrech srážek bude populace komárů mít nula milionů? Nebo-li nebudou žádný komáři? Nula komárů. Zkusme přepsat tuto funkci. Takže naše populace komárů... Pomáhá to mému mozku, takhle to přepsat, abych lépe zpracoval, co se ode mě chce. Má populace komárů v milionech bude -r krát (r minus 4), kde 'r' je množství srážek v centimetrech. Takže, abychom měli populaci nula milionů, to znamená, že 'm' bude rovno 0. Takže naším úkolem je zjistit, za jakých 'r' je 'm' rovno nula? Takže nám stačí vyřešit tuto rovnici. Aby tento výraz tady byl roven nula, všimněte si, že je součinem dvou výrazů. Můžeme se na to dívat tak, že násobíme -r krát (r minus 4). Označím 'r minus 4' jinou barvou. Krát 'r minus 4'. Takže pokud násobíte dva výrazy a dostanete nulu, jeden nebo oba z nich se musí rovnat nule. Podívejme se, co se stane. Takže buď -r je rovno 0, -r je rovno 0, nebo r minus 4 je rovno 0. r minus 4 je rovno 0. Takže kdy se -r rovná 0? Vydělíme obě strany -1 nebo vynásobíme obě strany -1 a dostaneme, že 'r' se musí rovnat 0. Kdy se 'r minus 4' rovná 0? Přičteme 4 ke každé straně, a vidíte, že 'r' by muselo být rovno 4. Takže máme buď žádné srážky, 0 centimetrů srážek, nebo 4 centimetry srážek. Za těchto podmínek je populace komárů nulová. Takže proč... Zamysleme se, zda to dává smysl. Nebo zda je to dobrý model pro počet komárů. Předpokládáme, že komáři potřebují nějakou stojatou vodu, takže při žádných srážkách pro ně nebude místo, kde se mohou pářit. Protože nebude žádná stojatá voda. A podle tohoto modelu se zdá, že pokud je dostatek srážek... Nějaký déšť může pomoct komárům k páření, ale jestli máte srážek příliš, tak je to nejspíš někde zaplaví. Kapky deště do nich asi budou narážet za letu, já nevím, co se doopravdy děje na komáří škále, ale naznačuje to, že při velkých srážkách bylo by to velice složité. Asi už nemáte stojatou vodu. Voda se hýbe v prostoru a přetéká a teče to stoky a nevím kam. Pro komáry by bylo velice složité se rozmnožovat. Jaký je maximální počet komárů? Celý koncept toho, že se nás ptají na maximum, naznačuje, že tato kvadratická rovnice (a je to kvadratická rovnice, což uvidíme lépe za pár sekund) je v tomto tvaru, právě aby měla maximální bod. Kdyby byla v tomto tvaru, měla by minimální bod a neměla by maximální. A protože máme tohle minus tady vedle, tak si můžeme být celkem jistí, že to bude klesající otevřená parabola. Ale abychom pochopili, co je zde maximální bod, musíme si to napsat ve vrcholovém tvaru. Jen pro připomenutí, co je vrcholový tvar. Byl by to tvar 'm' se rovná 'a' krát (r minus b) na druhou, plus 'c'. Toto zde by byl vrcholový tvar. Je velmi praktický, protože z něj pochopíme, kdy se dostaneme do minimálního a maximálního vrcholu. Když bude toto negativní (protože tato část může být pouze negativní), tak maximální hodnota by byla tato. Poté přijdeme na to, kdy se toto rovná 0. A to je stejné místo jako maximální hodnota. A pokud vám cokoliv z toho přijde nejasné, určitě se podívejte na videa o vrcholovém tvaru. Pravě teď se chystám doplnit na čtverec, na tomto znaku, abych se sem dostal, takže se také podívejte na videa o doplňování na čtverec. Tak pojďme to udělat. Začněme s tímto výrazem. Začnu tím, že... Vlastně, pojďme začít s... Jenom roznásobím toto 'r'. Takže když máte 'm' se rovná... Ponechám před tím zápor, ale roznásobím si 'r'. 'r' krát 'r' je 'r na druhou'. 'r' krát -4 je -4r. A já chci doplnit na čtverec. Znovu vám doporučím podívat se na ta videa, pokud vám to, co teď dělám, připadá jako voodoo. K doplnění na čtverec musím přičíst a odečíst totéž. Ve skutečnosti nechci změnit hodnotu výrazu. Podívám se na tento koeficient, první stupeň tohoto koeficientu tady, -4. Polovina toho, to je -2. Když to dám na druhou, musím přičíst 4. Musím... Musím přičíst 4. Musím přičíst... Vyznačím to jinou barvou. Musím přičíst 4. Teď znovu mohu jít dokola, přičítat čísla k výrazům a předpokládat, že rovnost stále platí. Musím přičítat a odčítat stejnou věc. Možná chcete napsat minus 4 sem vedle, protože, hele, přičetl jsem 4 a poté jsem odečetl 4. Ale uvědomte si, když přičítám tuto 4 v závorce, mám tady před tím minus. Kdybych měl roznásobit toto minus, pak, v podstatě, toto je minus 4. Takže kdybych je chtěl sečíst, aby dávaly 0, po roznásobení tohoto minus toto bude -4. Když tedy chci toto vyrušit, toto musí být kladná čtyřka. Ještě jednou, podíváme-li se povrchně, zdá se, že jsem právě přidal 4 dvakrát, ale to jsem neudělal. Toto, protože zde bylo minus, je -4. -4 plus 4 je 0. Nezměnil jsem hodnotu tohoto výrazu. Nicméně, když jsem to teď udělal, tuto část přímo tady, důvodem, proč jsem přičetl 4, je, aby to byl perfektní čtverec. Tohle je teď stejná věc jako (r minus 2) na druhou. Mám před tím minus. Máme m se rovná -(r - 2) na druhou plus 4. plus 4. Zapsal jsem to ve vrcholovém tvaru, podobně jako toto. Takže jaký bude maximální počet komárů? Zamyslete se trochu nad strukturou tohoto výrazu. Tato část přesně zde toto... Zvýrazním to jinou barvou než čtyřku, zvýrazním to oranžovou. Tato část zde bude vždy menší nebo rovna 0. Takže to vždy bude menší nebo rovno 0. Nikdy to nebude kladné. Takže celý tento výraz má maximální hodnotu tehdy, když tato část je rovna 0. Protože v jakémkoli jiném bodě bude hodnota nižší než zde. Takže maximální hodnoty výraz nabude tehdy, když se toto bude rovnat 0. Když se -(r minus 2) na druhou rovná 0. A to se stane tehdy, když se (r - 2) bude rovnat 0. Neboli když se 'r' bude rovnat 2. A pokud se 'r' rovná 2, čemu se bude rovnat 'm'? Jestliže se 'r' rovná 2, toto je 0 a 'm' se rovná 4. 'r' se rovná 2 a 'm' se rovná 4. Takže jaký je maximální možný počet komárů? Protože se 'm' rovná 4, budou to 4 miliony komárů. Vzpomeňte si, 'm' je počet v milionech. 4 miliony komárů. A dále se nás ptají, kolik centimetrů srážek musí napadnout, aby se objevil maximální počet komárů. To už jsme taky vypočítali. 2 centimetry. 2 centimetry. 2 centimetry. 2 centimetry srážek. Takže když se podíváme zpátky na náš model, při nulových srážkách nebudou žádní komáři. Jak bude víc a víc pršet, bude i víc a víc komárů. A asi i stojaté vody. Maximální počet komárů bude při 2 centimetrech srážek. Při 2 cm srážek budeme mít 4 miliony komárů. Ale potom, hádám, že déšť začne odplavovat komáří vajíčka nebo něco podobného, a komárů začne postupně ubývat až do bodu, kdy spadnou 4 centimetry srážek. Po 4 centimetrech srážek bychom teoreticky měli mít záporný počet komárů. Nevím, co by to znamenalo a mohla by to být situace, kdy se model prostě zhroutí. Pochopitelně nevíme, co by -1 000 000 komárů mohl ve skutečnosti znamenat. Relevantní oblast, pro kterou tento model platí, je mezi 0 až 4 centimetry srážek, protože poté model začíná popisovat záporné hodnoty 'm'. Každopádně, doufám, že vás tento příklad zaujal.
video