Kvadratické rovnice a funkce
Přihlásit se
Kvadratické rovnice a funkce (25/27) · 6:57

Soustavy nelineárních rovnic 3 Další příklad ukazující, jak se vypořádat se soustavou dvou kvadratických rovnic.

Navazuje na Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou.
Vyřešte soustavu rovnic jakýmkoli způsobem. Máme rovnici y se rovná 2 krát (x minus 4) na druhou plus 3. Máme také y se rovná -x na druhou plus 2x minus 2. Může existovat jedno řešení, dvě řešení, ale nemusí také existovat žádné. Řešením této soustavy bude 'x', které bude dávat stejné hodnoty 'y'. Existují stejné proměnné 'x' a 'y', které fungují v obou rovnicích. Abychom našli hodnotu 'x', musí mít 'y' stejnou hodnotu, takže toto 'y' se musí rovnat tomuto 'y'. Soustava bude mít řešení, pokud se bude -x na druhou plus 2x minus 2 rovnat 2 krát (x minus 4) na druhou plus 3. A nyní se pokusíme najít hodnotu 'x'. Na levé straně… Budeme muset umocnit závorku, takže to uděláme jako první. -x na druhou plus 2x minus 2 se rovná… A na pravé straně máme 2 krát (x minus 4) na druhou, což je (x na druhou minus 8x plus 16) plus 3. Když roznásobíme závorku dvěma, dostaneme 2x na druhou minus 16x plus 32 plus 3, což se rovná 2x na druhou minus 16x plus 35. To se samozřejmě bude rovnat levé straně. -x na druhou plus 2x minus 2. Pojďme se zbavit celé levé strany najednou tím, že přičteme 'x na druhou' k oběma stranám. Stačí na to jeden krok. Na obě strany přičteme 'x na druhou'. Poté od obou stran odčteme 2x a přičteme k oběma stranám 2. Na levé straně se všechno vyruší. Dostaneme 0 se rovná 2x na druhou plus x na druhou, to je 3x na druhou. Minus 16x minus 2x je minus 18x a 35 plus 2 je 37. Takže teď máme obyčejnou kvadratickou rovnici. Takže můžeme použít vzorec pro výpočet kořenů kvadratické rovnice. Začneme dosazovat do vzorce x se rovná -b. b se rovná -18, takže minus b je 18. 18 plus minus odmocnina z (18 na druhou minus 4 krát 3 krát c, což je 37). To celé se vydělí 2a, což je 6. Pojďme zjistit, kolik to bude. Máme tady 18 plus minus odmocnina z… Na to použiju kalkulačku. 18 na druhou minus 4 krát 3 krát 37 je -120. Takže v čitateli je 18 plus minus odmocnina z -120. Možná jste tušili, že to bude záporné. 4 krát 3 je 12. 12 krát 37 je větší číslo než 18. Ačkoli to není úplně zřejmé, ale mohli jste to intuitivně rozeznat. Vyšlo nám záporné číslo pod odmocninou. Pokud počítáme s reálnými čísly, odmocnina z -120 neexistuje. Takže tato kvadratická rovnice nemá žádné řešení. Žádné řešení neexistuje. Stačí se podívat na diskriminant. Diskriminant je tato část: b na druhou minus 4ac. Diskriminant je záporný, tudíž neexistuje řešení, což znamená, že tyto dvě rovnice se nikdy neprotnou. Není žádné řešení této soustavy. Není žádné 'x', které když dosadíme do obou rovnic, dostaneme stejnou hodnotu 'y'. Pojďme se zamyslet nad tím, proč se tohle stalo. Tato vrchní rovnice už je ve vrcholovém tvaru. Je to konvexní parabola, takže vypadá nějak takto. Pokusím se to nakreslit co nejlépe, toto je jen rychlý náčrtek. Nakreslím si osy nějakou neutrální barvou. Takže toto je moje osa y a toto je moje osa x. x a y. Rovnice je ve vrcholovém tvaru a vrchol bude na x se rovná 4 a y rovná se 3. Takže x se rovná 4 a y se rovná 3. Je to konvexní parabola. Máme zde kladný koeficient. Bude to vypadat nějak takto. Není to úplně přesné, ale je to dost blízko. Jak bude vypadat tato rovnice dole? Je to konkávní parabola. Můžeme si tu rovnici přepsat do vrcholového tvaru. Přepíšu si tedy tu druhou rovnici do vrcholového tvaru, abychom ji měli. Aby to bylo jednodušší. Takže y se rovná… Můžeme vytknout -1. -(x na druhou minus 2x plus 2) Dám si to 'plus 2' o něco dál. Takže plus 2, které je až tady vzadu. Potom si můžeme říct, že polovina z -2 je -1. To umocníme, takže dostaneme plus 1 a pak za tím minus 1. Tuto část si můžeme přepsat jako (x minus 1) na druhou, takže se z toho stane -(x minus 1) na druhou. Budu dělat jednotlivé kroky. Nechci nějaký krok přeskočit. -(x minus 1) na druhou minus 1 plus 2. Takže tady máme plus 1. Nebo pokud to budeme chtít roznásobit -1, dostaneme y se rovná -(x minus 1) na druhou minus 1. Tento vrchol bude na x se rovná 1 a y se rovná -1. Tady máme vrchol a tato parabola je konkávní. Je tady záporný koeficient, takže to bude vypadat nějak takto. Jak vidíte, neprotínají se. Tento vrchol je nahoře a parabola je konvexní. Toto je nejnižší bod. A ten je nad tímto nejvyšším bodem. Nikdy se neprotnou a tato soustava rovnic nemá žádné řešení.
video