Nerovnice s absolutní hodnotou 3 Procvičování je důležité, proto tu máme další příklad na nerovnice s absolutní hodnotou. Tentokrát si zároveň zopakujeme i počítání se smíšenými zlomky.

Máme |2r - (3 a 1/4)| je méně než 2 a 1/2. A chceme spočítat ‚r‘. Takže hned od začátku musíme pracovat s absolutní hodnotou. A jen trochu opáčka. Pokud bychom řekli, že |x| je menší než 2 a 1/2. To znamená, že vzdálenost od ‚x‘ k nule je menší než 2 a 1/2. To znamená, že ‚x‘ by muselo být menší než 2 a 1/2 a ‚x‘ by muselo být větší než -(2 a 1/2). A chvilku o tom přemýšlejte. Pokud tu nakreslím číselnou osu, toto je nula, tady je 2 a 1/2 a zde je -(2 a 1/2). Tato dvě čísla jsou vzdálena přesně 2 a 1/2 od nuly, protože obě jejich absolutní hodnoty jsou 2 a 1/2. Pokud chceme všechna tato čísla, jejichž absolutní hodnota je menší než 2 a 1/2, nebo která jsou vzdálena méně než 2 a 1/2 od nuly, byla by to všechna čísla mezi. A to je přesně to, co tyto dva výroky říkají. ‚x‘ musí být méně než 2 a 1/2 a musí být větší než minus 2 a 1/2. Pokud by absolutní hodnota byla opačně, absolutní hodnota z ‚x‘ má být větší než 2 a 1/2, pak by to byla čísla mimo tento interval a bylo by to ‚nebo‘. Ale řešíme situaci pro ‚méně než‘, takže udělejme, co jsme schopni vyřešit, když se jedná o pouhé ‚x‘. Vzdálenost této věci od nuly musí být menší než 2 a 1/2. Můžeme zapsat, že 2r minus 3 a 1/4 musí být méně než 2 a 1/2 a 2r minus 3 a 1/4 musí být větší než -2 a 1/2. Stejný postup. Narýsuji číselnou osu, aby nás to nezmátlo. Je to stejná logika, stejný postup. Toto musí být mezi - 2 a 1/2. Musí to být větší než minus 2 a 1/2. A musí to být menší než 2 a 1/2, to je vše, co jsem tam napsal. Vyřešme to nezávisle. První tady, už víte, že nemám rád zlomky v základním tvaru a nemám rád zlomky obecně. Udělejme ze všech těchto zlomků. Promiňte, nemám rád složené zlomky. Chci, aby z nich byly zlomky v základním tvaru. Pokud to přepíšu, dostaneme 2r minus… 3 a 1/4 je 3 krát 4 je 12, plus 1 je 13. 2r minus 13/4 je menší než, 2 krát 2 je 4, plus 1 je pět, je menší než 5/2. Tak to je první rovnice. A pak u druhé rovnice uděláme to samé. Máme 2r minus 13/4 musí být větší než -5/2. Dobře, teď pojďme vyřešit každou z nerovnic samostatně. Abych se zbavil zlomků, tak nejjednodušší je vynásobit obě strany rovnice 4. Tím se zbavíme zlomků. Udělejme to. Vynásobíme… -- Trochu se posunu doleva. -- Vynásobíme obě strany rovnice 4. A co dostaneme? 4 krát 2r je 8r, 4 krát minus 13 lomeno 4 je minus 13, je méně než… -- Násobím kladným číslem, tak se nemusím starat o změnu znaménka nerovnosti. -- Je to méně než 5/2 krát 4 je 10, správně? Dostanete 2 a 1, je 10. Takže dostanete 8r minus 13 je menší než 10. Teď můžeme přičíst 13 na obou stranách této nerovnice tak, abychom se zbavili 13 na levé straně. Přičteme 13 k oběma stranám a dostaneme 8r, tohle se vyruší, je méně než 23, a pak vydělíme obě strany 8. A opět jsme se nemuseli starat o nerovnost, protože dělíme kladným číslem. A dostaneme r je méně než 23 lomeno 8. Nebo, pokud to chcete psát jako složené číslo, r je méně než 2 a 7/8. Tak to je jedna podmínka, ale stále tu máme tuto další podmínku. Bylo zde a zároveň. Tak se do toho dáme. Naše další podmínka nám říká, že 2r minus 13 lomeno 4 musí být větší než -5/2. Vynásobíme obě strany rovnice 4. 4 krát 2r je 8r. 4 krát -13 lomeno 4 je -13, je větší než -5/2 krát 4, je -10. Nyní přičteme 13 k obou stranách této rovnice. Levá strana, toto se vyruší, zůstává 8r, je větší než -10 plus 13 je 3. Nebo obě strany vydělte 8, a zůstane: r musí být větší než 3/8. Takže naše dvě podmínky jsou: r musí být menší než 2 a 7/8, a větší než 3/8. Nebo to můžeme napsat takhle: r je větší než 3/8, takže je větší než… Možná jsem měl říct 3/8 je menší než r, což je menší než 2 a 7/8. Pokud to máme vyznačit na číselné ose… To se chystám udělat, tohle je moje číselná osa. Tady je 0, tohle je 1, 2 a 3. Máme 2 a 7/8. To musí být menší než 2 a 7/8. Řekněme, že tady je 2 a 7/8. A musíme to být větší než 3/8. Řekněme, že toto je 3/8, 3/8 bude někde přibližně zde. A vše v tomto rozmezí je platné řešení. A můžeme to zkusit. Zkusme něco, co by na základě toho, co jsem nakreslil, mělo být řešení. 1 by měla být platné řešení. Zkusíme to tady. 2 krát 1 minus 3 a 1/4, kolik to je? To je 2 minus 3 a 1/4. A kolik je to? 2 minus 3 a 1/4 je, 3 a 1/4 minus 2 je 1 a 1/4, takže to bude -(1 a 1/4). Ale bereme z toho absolutní hodnotu, absolutní hodnota se rovná 1 a 1/4, což je skutečně méně než 2 a 1/2. Teď pojďme zkusit další číslo. Zkusme 0. Na základě tohoto by 0 neměla být platné řešení. Co se stane, když sem dáme 0? Dostanete 2 krát 0, to je 0, minus 3 a 1/4. Absolutní hodnota z -(3 a 1/4) je 3 a 1/4, to neodpovídá zadání. 3 a 1/4 je větší než 2 a 1/2, takže je to tak, jak jsme čekali. A totéž pro 3. 2 krát 3 je 6, minus 3 a 1/4 je 2 a 3/4. Absolutní hodnota je 2 a 3/4, což je stále větší než 2 a 1/2, není to platné řešení. Tedy alespoň ty body, které jsme zkoušeli, potvrzují, že máme správné řešení.