Úvod do řešení rovnic s odmocninami Vyřešíme si první rovnici s odmocninou. V tomto typu rovnic je důležité nezapomenout na zkoušku správnosti řešení.

V tomto videu se seznámíme s příklady řešení iracionálních rovnic, neboli rovnic, které obsahují druhé či vyšší odmocniny, a kromě toho se také pokusíme porozumět zajímavému jevu, se kterým se při řešení těchto rovnic setkáváme. Ukážu vám, co tím myslím. Řekněme, že mám rovnici odmocnina z x se rovná 2 krát x minus 6. S čím se při řešení těchto rovnic setkáte vždy, je nutnost osamostatnit alespoň jednu z odmocnin. V této rovnici je pouze jedna. Osamostatníte jednu z odmocnin na jedné straně rovnice tak, aby odmocnina z x byla samostatně na levé straně. V dalším kroku pak umocníme obě strany rovnice. Tak pojďme obě strany rovnice umocnit na druhou. Celou ji tedy přepíšu. Pomalu ji spolu vyřešíme. Toto celé umocním, takže pravá strana se bude rovnat 2x minus 6, to celé na druhou. Umocnění se tu jeví jako správná operace. Pokud se tohle rovná tomuhle, tak i po umocnění by se jedna strana měla rovnat druhé. A v tomhle duchu pokračujeme. Když tedy vezmeme druhou odmocninu z x a umocníme ji na druhou, zůstane pouze x. Tím získáme x se rovná 2x, to celé na druhou, což je 4 krát x na druhou. Je to celé 2x umocněno na druhou. 4x na druhou, a pak vynásobíte tato dvě čísla, což je −12x. A pak to ještě vynásobíte 2, takže dostanete −24x. A nakonec (−6) na druhou je 36. Jestli vám tyto poslední kroky působily potíže, doporučuji zopakovat si násobení mnohočlenů, násobení dvojčlenů, anebo rovnou zvláštní postup při jejich umocňování. V zásadě jde o to, že tohle umocněno na druhou, je toto. Dále máme −2 krát součin těchto dvou čísel. Jejich součin je −12x. To vynásobeno 2 se rovná −24x, a nakonec toto číslo na druhou. Takto jsme si tedy rovnici zjednodušili, a teď se pojďme podívat na to, co se stane, když od obou stran rovnice odečteme x. Pokud od obou stran rovnice odečteme x, levá strana se bude rovnat 0, a na straně pravé získáme 4x na druhou minus 25x plus 36. Tuto iracionální rovnici jsme tak zjednodušili na standardní kvadratickou rovnici. Pro ulehčení práce namísto vytýkání a podobně použijeme vzorec pro výpočet kořenů kvadratické rovnice. Podle tohoto vzorce je řešením našeho příkladu x dosadíme za −b −25 minus (−25) se rovná +25, plus nebo minus odmocnina z 25 na druhou, 25 na druhou je 625, minus 4 krát „a“, což jsou 4, krát „c“, což je 36, a to celé ve zlomku nad 2 krát 4, což se rovná 8. Z toho teď na kalkulačce spočítáme, jaká je hodnota x. Zadejme to do kalkulačky. Takže máme 625 minus 16 krát 36 a to se rovná 49. Hezký výsledek, vyjde nám celé číslo. Druhou odmocninu ze 49 známe. Je to 7. Vraťme se zpátky k příkladu. Tuto část jsme zjednodušili na 49. Takže x se rovná 25 plus minus odmocnina ze 49, což je 7, to celé lomeno 8. Dva výsledky pro x jsou tedy po přičtení 7 x se rovná 25 plus 7, tedy 32 a 32 děleno 8 se rovná 4, a druhý výsledek, který napíšu jinou barvou, je x se rovná 25 minus 7, čímž získáme 18 děleno 8. 8 se do 18 vejde dvakrát, zbytek 2, což je rovno 2 a 2 osminy nebo 2 a 1 čtvrtina anebo prostě 2,25. Teď vám předvedu takový zajímavý jev, ke kterému dochází. Možná vás ten hlavolam odradí, ale já vám vysvětlím, proč se s ním setkáváme. Pojďme zjistit, zda jsou oba naše výsledky skutečně platné. Vyzkoušejme x se rovná 4. Pokud x se rovná 4 platí, pak kladná druhá odmocnina ze 4 by měla být rovna 2 krát 4 minus 6. Kladná druhá odmocnina ze 4 je kladná 2. 2 by se mělo rovnat 2 krát 4, tedy 8 minus 6, což platí. Tohle odpovídá. Takže 4 je platný výsledek. Teď pojďme zkusit to samé s 2,25. Podle tohohle bychom měli být schopni získat odmocninu, kladnou odmocninu z 2,25... Trochu ji zvětším. Kladná hodnota odmocniny z 2,25 by se měla rovnat 2 krát 2,25 minus 6. Výsledek možná dokážete spočítat zpaměti. Možná víte, že odmocnina z 225 je 15. A z toho možná dokážete zjistit, že odmocnina z 2,25 je 1,5. Pojďme si to ještě ověřit na kalkulačce. Tak tedy, odmocnina z 2,25. Je to 1,5. Kladná hodnota odmocniny je 1,5. Další hodnota je −1,5. Takže je to 1,5. A to by se mělo rovnat 2 krát 2,25 je 4,5 minus 6. Je to skutečně tak? Podle tohohle by se 1,5 mělo rovnat −1,5. To není pravda. 2,5 jako výsledek pro tuto iracionální rovnici neplatí. Znamená to, že se nejedná o reálný kořen rovnice. 2,25 tedy není reálným kořenem. Teď přichází ta hádanka: Proč nám vyšlo číslo 2,25 jako výsledek? Ve výpočtu jsme se žádných chyb nedopustili, upravili jsme kvadratickou rovnici a získali jsme výsledek 2,25. A tady máme nápovědu. Když dosadíme 2,25, získáme 1,5 se rovná −1,5. To znamená, že nějaký náš krok při výpočtu vedl k tomu, že máme výsledek, který neplatí. A napovím vám ještě něčím. Vyzkoušejme tenhle krok. Při pohledu na tento krok zjistíte, že oba výsledky v něm platí. V případě zájmu si to vyzkoušejte. Zkuste to ve volném čase spočítat. Dosaďte tu za x 2,25. Uvidíte, že to vychází. Pak za x dosaďte 4 a zjistíte, že oboje vychází. Pro tento krok jsou tedy obě řešení správná. K něčemu, co rovnici pozměnilo, tedy došlo při umocnění. Tyto dvě rovnice se v něčem vzájemně liší. Odpovědí je, že jsou dva různé způsoby, jak nad danou věcí uvažovat. Abychom se vrátili z téhle rovnice do původní, celou ji odmocníme. Přesněji řečeno na obou stranách použijeme kladnou hodnotu odmocniny. Mohli bychom ale počítat i s její negativní hodnotou. Všimněte si, že tady pracujeme pouze s kladnou hodnotou odmocniny. Postupujeme od tohoto… Pokud jde o tento výrok, tak jsme určili, že oba kořeny, jak ten reálný, tak ten zdánlivý, lze do něj dosadit. Ale pouze ten reálný nabízí řešení původní rovnice. Zapíšu ji teď tak, aby pro ni platila obě řešení. Tohle je totiž opravdu zajímavý hlavolam. Myslím, že si z toho můžete odnést něco nového. Vlastně nám to říká, co se stane, pokud počítáme jen s kladnými výsledky odmocnin. Umocňování rovnice není ekvivalentní úpravou, proto může dojít ke ztrátě nebo zkreslení informace o výsledku. Tohle můžeme napsat jako x se rovná (2x minus 6) to celé na druhou. Takto můžeme přepsat tento mnohočlen. Není to ale jediný způsob, existuje ještě jeden správný zápis této rovnice. Můžeme to totiž také napsat jako x se rovná -1 krát (2x minus 6) to celé na druhou. Jaktože se tyto dva zápisy rovnají? Protože když vezmu číslo -1 a umocním ho, záporné znaménko zmizí. Toto jsou naprosto shodné výrazy. Ten druhý bychom ještě mohli přepsat jako x je rovné... ...roznásobím minus jedničkou závorku. A vznikne mi tam (6 minus 2x) to celé na druhou. Tento a tento zápis představují dva způsoby zápisu tohoto. Pokud teď toto odmocníme... ...jsou vlastně zase dva způsoby, jak nad tím uvažovat. Když jsme to na začátku umocnili, předpokládali jsme, že toto je jediné možné řešení, ale tak tomu není. Našli jsme tedy dvě řešení této rovnice, pouze jedno z nich, 4, splňuje zadání. Doufám, že už je teď všem jasné, že uvažujeme jen kladný výsledek odmocniny. Nezajímá nás tady záporné řešení, pouze kladná. Ještě na originální rovnici ukážu jiný způsob, jak se na to dívat. Jen jí tady přepíšu. Měli jsme zadáno, že odmocnina z x je rovna 2x minus 6. Již jsme zjistili, že 4 je řešením, zatímco 2,25 není. 2,25 by bylo řešení, pokud bychom před odmocninou měli plus minus. Pokud tam teď dosadíte 2,25, tak vám to hezky vyjde. Měli bychom minus odmocnina z 2,25 se rovná 2 krát 2,25 minus 6. Což je 4,5 minus 6, což je -1,5. To je splněno. Verze s kladným znaménkem před odmocninou dává řešení x je rovno 4. Právě proto nám předtím vyšly dvě řešení. Pokud toto umocníme, pokud umocníme obě strany rovnice, Tak se dostáváme na již řešenou rovnici, již splňují oba kořeny. Možná, že jsme teď z toho všeho zmatení. To rozhodně není můj záměr. Základní věc, na kterou musíme při řešení iracionálních rovnic myslet, je, že izolujeme odmocninu, umocníme a vyřešíme. Vyjde vám možná více řešení. Dosaďte všechna zpět do zadání. Ty, co to nebudou splňovat nejsou kořeny původní rovnice. Tímto videem jsem vám chtěl vysvětlit, odkud se tyto falešné kořeny berou. Snad se mi to nějak povedlo. Řešíme rovnici jenom pro kladnou hodnotu odmocniny. Ten druhý kořen by nám to splňoval, pokud bychom brali i tu zápornou. Zadání by tedy muselo být jiné.