Příklad na rovnice s odmocninou 1 Další příklad na rovnice s odmocninou, ve kterém si tuto problematiku můžeme potrénovat.

Najděte hodnoty 'x', pro které platí následující rovnice: odmocnina z (5x na druhou minus 8) se rovná 2x. Výraz pod odmocninou už zde máme osamostatněný, takže nejjednodušším prvním krokem bude prostě umocnit obě strany rovnice na druhou. Takže pojďme umocnit obě strany rovnice. Na levé straně, když umocníme odmocninu z (5x na druhou minus 8), dostanete 5x na druhou minus 8. Takže 5x na druhou minus 8. A na pravé straně, 2x na druhou je totéž co 2 na druhou krát x na druhou, neboli 4x na druhou. Nyní máme kvadratickou rovnici. Nyní se podívejme, jestli to můžeme trochu zjednodušit. Mohli bychom odečíst 4x na druhou. Vlastně, ještě lepší bude odečíst 5x na druhou od obou stran, abychom měli všechny výrazy s 'x' na pravé straně. Takže odečteme 5x na druhou od obou stran. Odečteme 5x na druhou od obou stran rovnice. Na levé straně se 5x na druhou vyruší. To byl náš záměr. Nalevo zůstane jen -8, což se rovná 4x na druhou minus 5x na druhou, a to se rovná -1x na druhou. Nebo můžeme zapsat jen -x na druhou, takhle. Vynásobíme obě strany rovnice -1. Dostaneme zde +8... Lze i vydělit -1, podle toho, jak na to pohlížíte. -1 krát toto krát -1. Dostaneme +8 se rovná x na druhou. Nyní bychom mohli odmocnit obě strany této rovnice. Pojďme tedy odmocnit obě strany rovnice. Najděme kladnou odmocninu obou stran rovnice. A co dostaneme? Na pravé straně x se rovná odmocnina z 8. 8 můžeme rozložit na 2 krát 4. Toto můžeme zapsat jako (odmocnina ze 2) krát (odmocnina ze 4) se rovná x. (Nemám moc rád tuto zelenou barvu.) A co je kladná odmocnina ze 4? To je 2. Takže zde je 2. Takže na této straně máme 2 krát odmocnina ze 2. A to se rovná x. Nyní si pojďme ověřit, že to je řešení naší originální rovnice. Takže pojďme nejprve nahradit levou stranu. Na levé straně dostaneme 5 krát (2 krát odmocnina ze 2) na druhou minus 8. A odmocníme tento celý výraz. A to se bude rovnat... Zaměříme se teď na levou stranu. To se rovná odmocnina z 5 krát 2 na druhou, což je 4, krát odmocnina ze 2 na druhou, což jsou 2. A pak minus 8. A teď 5 krát 4 je 20, krát 2 je 40. Potom 40 minus 8 je 32. Takže se to rovná odmocnina ze 32. Odmocnina ze 32 je to stejné jako odmocnina ze 16 krát 2 . Odmocnina ze 16 je 4. To je to stejné jako odmocnina ze 16 krát odmocnina ze 2. Neboli 4 krát odmocnina ze 2. Takže to je to, na co lze zjednodušit levá strana... A vzpomeňte si, originální rovnice neměla tyto mocniny, takže když se podíváte na zelenou část, ta se na levé straně zjednoduší na 4 krát odmocnina ze 2. Podívejme se, na co se zjednoduší 2x. Naše původní pravá strana byla právě 2x. Závorka s umocněním byla přidána později. Takže co je 2x? 2 krát (2 krát odmocnina ze 2). 2 krát (2 krát odmocnina ze 2). To je 4 krát odmocnina ze 2. Pokud se 'x' rovná 2 krát odmocnina ze 2, levá strana se rovná 4 krát odmocnina ze 2. Nezapomeňte, levá strana vypadala takto, když jsme začínali. Levá strana, když jsme začínali, neměla tady toto. To chci zdůraznit. Takže když dosadíte toto zpátky do levé strany, dostanete 4 krát odmocnina ze 2. Když to dosadíte do původní pravé strany dostanete 4 krát odmocnina ze 2. Takže je to zcela jistě správně. Zcela jistě správné řešení. ...