Rovnice s neznámou pod odmocninou se dvěma řešeními Příklad jen o trochu složitější než ty předchozí. Vyjdou nám totiž hned dva kořeny a pro oba musíme provést zkoušku.

Řekněme, že máme rovnici 6 plus 3w se rovná druhá odmocnina z (2w plus 12) plus 2w. Zkuste zastavit video a vyřešit rovnici, ale pamatujte, že může mít více než jedno řešení. Teď to zkusíme vyřešit společně. Takže napřed, kdykoliv mám rovnici s odmocninou, chci osamostatnit tu odmocninu na jedné straně rovnice. Takže teď odečteme 2w na obou stranách. Chci se zbavit výrazu 2w na pravé straně. Chci tam mít jen odmocninu. A když odečtu z obou stran 2w, co mi zůstane? Na levé straně mi zůstane 6 plus 3w minus 2w. Takže mám 3w minus 2w, zůstane mi jenom 'w'. 6 plus w se rovná... Tyto se vyruší, zůstane nám druhá odmocnina z (2w plus 12). Abychom se zbavili odmocniny, obě strany umocníme na druhou, a jak už jsme viděli dříve, tento postup je trochu ošemetný, protože když umocňujeme odmocninu v takovéto rovnici, můžeme dostat ještě nepravý kořen rovnice. Co tím myslím? Dostaneme stejný výsledek, ať umocníme tohle nebo tohle, protože když umocníme záporné číslo, vyjde nám kladné. Ale to jsou dvě velmi rozdílné rovnice. My chceme jen řešení, které splňuje, že tady nemá záporný výraz. Proto si pak ověříme naše řešení, abychom si byli jistí, že platí pro naši původní rovnici. Takže když umocníme obě strany, na levé straně dostaneme... Bude to w na druhou plus dvojnásobek součinu členů. Takže 2 krát 6 krát w, to je 12w. Plus 6 na druhou, to je 36, což se rovná... Teď, když vezmete druhou odmocninu a umocníte ji na druhou, zůstane nám 2w plus 12. Teď můžeme z obou stran odečíst 2w a 12, tak to zkusme. Takže teď můžeme rovnici upravit do standardního kvadratického tvaru. Takže odečteme 2w z obou stran a také odečteme z obou stran 12. Takže odečteme 12 z pravé strany. Odečteme 12 tady. A znova, tohohle se chci zbavit na pravé straně a zůstane mi... Na levé straně to bude w na druhou. Takže 12w minus 2w je 10w, a tady 36 minus 12 je 24, to celé je rovno 0. Tak to zkusíme vyřešit, můžeme to rozepsat na součin? Existují nějaká dvě čísla, jejichž součet je 10 a zároveň je jejich součin 24? To by mohla být čísla 6 a 4. Takže tohle můžeme přepsat jako (w plus 4) krát (w plus 6) se rovná 0. Takže když máme součin dvou věcí roven nule, můžeme to vyřešit tak, že jedna nebo obě věci můžou být rovny nule. Nula krát cokoliv je nula. Takže, w plus 4 je rovno 0, nebo w plus 6 je rovno 0. A když tady odečteme z obou stran 4, dostaneme výraz w se rovná -4. Nebo tady odečteme z obou stran 6. w se rovná -6. Nyní si ověříme, jestli jsou to opravdu řešení pro naši původní rovnici. Naše původní rovnice byla 6... (Přepíšu to sem.) Původní rovnice byla 6 plus 3w se rovná druhá odmocnina z (2w plus 12) plus 2w. Takže když 'w' se rovná -4... (Udělám to jinou barvou.) 'w' se rovná -4... Takže tohle bude 6 plus 3 krát (-4) rovná se druhá odmocnina z (2 krát (-4) plus 12) plus 2 krát (-4). Takže tohle je -12. Tohle je -8. Tohle je také -8, takže máme 6 plus (-12), což je -6, to se rovná druhé odmocnině z (-8 plus 12), to je 4, to celé plus (-8). To je -6 se rovná 2 plus (-8), což je pravda. Takže tohle je určitě správné řešení. A teď to zkusíme pro 'w' se rovná -6. Takže, 'w' se rovná -6. Takže když se podíváme sem nahoru, dostaneme 6 plus 3 krát (-6), to se rovná druhé odmocnině z (2 krát (-6) plus 12) plus 2w. Takže tady máme -18. Tohle je -12. Tohle je vlastně -12, -12 plus 12 je 0. Odmocnina z nuly je nula. A pak dvakrát... A vlastně, tady jsem neměl psát 'w', měl jsem napsat 2 krát (-6). Takže zpět k věci, tohle je -18. Tohle je 2 krát (-6) plus 12. Tohle celé je 0. Odmocnina z nuly je nula. A tohle je -12. Takže máme 6 plus (-18), což je -12. To se rovná 0 plus (-12). To je -12. A to je správně. Takže oba výsledky jsou správným řešením naší původní rovnice.