Řešení rovnice s neznámou pod odmocninou s parametrem - pokročilý příklad Jak najdeme nepravý kořen parametrické rovnice s neznámou pod odmocninou? Musíme najít druhou variantu umocněné rovnice.

Máme zjistit, pro kterou hodnotu 'd' ('d' zde v této rovnici) je 'x rovno -3' nepravým kořenem této rovnice s odmocninou. Odmocnina z (3x plus 25) se rovná d plus 2x. Radím, abyste si pozastavili video a zkusili o tom popřemýšlet sami, než se do toho pustíme společně. Dobrá, pojďme se na to podívat. Nejdříve si připomeňme, co je to nepravý kořen. Je to kořen, který dostaneme (nebo si myslíme, že jsme ho dostali), ale ve skutečnosti je to jen vedlejší produkt řešení, není to ale skutečné řešení naší originální rovnice. A kde se nepravé kořeny vlastně berou? Objeví se tehdy, když umocníme na druhou obě strany rovnice. Takže abych se u této rovnice zbavil odmocniny, chtěl bych umocnit obě její strany. Pokud umocním obě strany, z levé strany se stane 3x plus 25 a z pravé strany, když ji umocním, bude co? Bude to d na druhou plus 4dx plus x na druhou. Takže to bylo umocnění obou stran... Ale všimněte si, existuje vlastně ještě jedna rovnice odlišná od této, ze které, když umocníte obě strany, také dostanete toto. Co je to za rovnici? Tu odlišnou rovnici získáte, když dáte minus před jednu z těchto stran. Například, pokud byste měli rovnici minus druhá odmocnina z (3x plus 25) se rovná d plus 2x a pak byste umocnili obě strany, opět byste dostali tuto fialovou rovnici, protože když umocníte minus, dostanete plus. Takže obě rovnice, když umocníte obě jejich strany, nás dostanou sem. A když řešíte tuto fialovou rovnici... Toto je kvadratická rovnice, když ji trochu upravíte, máte standardní kvadratickou formu. Dostanete tedy dvě řešení. A ukáže se, že jedno z těch řešení bude platit pro tuto žlutou rovnici a druhé pro tuto fialovou rovnici. A řešení, které platí pro fialovou rovnici, bude nepravým kořenem pro žlutou rovnici. Ve skutečnosti to není řešení žluté rovnice. Takže když se ptají, pro kterou hodnotu 'd' je 'x rovno -3' nepravým kořenem této žluté rovnice, tak se vlastně ptají, pro kterou hodnotu 'd' je 'x rovno -3' kořenem této rovnice. Kořen této rovnice. Protože pokud je to řešením této rovnice, je to nepravý kořen této rovnice, neboť jde o odlišné rovnice. Dali jsme před jednu stranu minus, abychom dostali tuto rovnici. Pokud byste dali minus k oběma stranám, byla by to pořád táž rovnice, protože můžete vynásobit obě strany rovnice -1. Mimochodem, řešení tohoto by bylo ekvivalentní k řešení rovnice, která by neměla minus na levé straně, ale na pravé. Nicméně, pojďme se zamyslet, pro kterou hodnotu 'd' je 'x rovno -3' řešením tohoto. Pojďme dosadit -3 za 'x' a potom prostě jen vyřešíme 'd'. Pokud se 'x' rovná -3, toto bude minus druhá odmocnina z... 3 krát -3 je -9, plus 25 se rovná d... 2 krát -3 je -6. Takže d minus 6. A teď můžeme umocnit obě strany... Vlastně, uděláme to takto. Nechci umocnit obě strany, protože tím ztratíme informace. Bude to minus druhá odmocnina z... -9 plus 25 je 16, se rovná d minus 6. Takže toto bude rovno -4. Nezáporná odmocnina z 16 je 4, před ní máme minus. To se rovná d minus 6. A můžeme přičíst 6 k oběma stranám. Dostaneme 2 se rovná d. Takže pokud se zde 'd' rovná 2, pak řešením této fialové rovnice bude x rovno -3. A to tedy bude nepravý kořen, protože pokud 'x' rovno -3 vyhovuje této rovnici, vyhovuje i této, ale rozhodně nevyhovuje této zde nahoře. A můžete si to ověřit. Pokud je toto rovno 2, zkuste za 'x' dosadit -3. Na levé straně dostanete 16 a na pravé straně dostanete 2 minus 6, což je -4. 2 minus 6, což je -4. Takže to nesedí. 'x rovno -3' není řešením této rovnice, ale je to řešením této rovnice a je to řešením i této kvadratické rovnice. Takže pro 'd rovno 2' je 'x rovno -3' nepravým kořenem této rovnice.