Rozklad mnohočlenů
Přihlásit se
Rozklad mnohočlenů (11/20) · 6:11

Rozklad kvadratického výrazu se dvěma proměnnými Zkusme jít ještě o krok dál a rozložit na součin kvadratický výraz obsahující místo jedné proměnné hned dvě.

Navazuje na Mnohočleny.
Již známe nějaké postupy, pro rozložení na součin něčeho jako je 'x na druhou' plus 4x minus 5. Způsob, jakým jsme to doteď řešili, byl říct si: „Najděme 2 čísla, jejichž součin by byl -5 a jejichž součet by byl +4. Fakt, že jejich součin má být záporný, nám říká, že jedno číslo bude kladné a to druhé bude záporné. Je více způsobů, jak se to dá řešit. Mohli byste říct, že možná jedno z čísel je -1 a to druhé bude +5. Tato kombinace funguje. -1 krát 5 se rovná -5. -1 plus 5 se rovná 4. Tohle tedy funguje. Další ze způsobů je… Jelikož se budeme zabývat jen děliteli 5 a 5 je prvočíslo, další možnost by mohla být něco jako 1 a -5. Existují pouze dva dělitelé. Takže 1 a -5, jejich součin by byl -5, ale kdybychom ty čísla sečetli, tak bychom tady dostali -4. Vybereme si tedy tato čísla. A to nám říká, že kdybychom to chtěli rozložit pomocí postupů, které už známe, dostali bychom… Jen zde napíši tato čísla jinou barvou, abychom je byli schopni rozeznat. Takže -1 a 5. Víme, že je lze rozložit na (x minus 1) krát (x plus 5). To si můžete ověřit sami, pokud byste je totiž vynásobili, dostali byste 'x na druhou' plus 4x minus 5. Dokonce to můžete vidět zde, 'x' krát 'x' je 'x na druhou', -x plus 5x je 4x. -1 krát 5 je -5. Takže tak. Doteď to bylo jen opakování. Teď bych rád řešil něco trochu zajímavějšího. Řekneme, že chceme rozložit 'x na druhou' plus 4xy minus 5 'y na druhou. Na první pohled to vypadá strašně. Najednou zde máme 'y' a tady 'y na druhou'. Máme dvě proměnné. Jak to vyřešíme? Důležité je se hluboce nadechnout a uvědomit si, že v podstatě neděláme nic jiného. Udělal jsem malou záludnost, když jsem to napsal takto… Pozastavte si video a zkuste to sami, než to dál vysvětlím. Ta záludnost, kterou jsem udělal, je, že jsem napsal 'x' před 'y'. To je taková úmluva. Píšete je v abecedním pořadí. Ale pokud bychom to chtěli ve tvaru, který je podobný tomuto, tak aby to pasovalo na tento postup, zaměňme tyto dvě proměnné. Pak bychom to napsali jako 'x na druhou' plus 4yx minus 5 'y na druhou'. A teď je jasné, že tady ten výraz '4y', že tohle zde je koeficient u 'x', tak jako byla 4 koeficientem u 'x' zde a -5 'y na druhou' odpovídá -5 zde. Můžeme tedy použít stejný myšlenkový proces. Najděme dvě, a teď ne jen čísla, budou mít i proměnné… Najděme dva členy nebo dva výrazy, které když vynásobím, dostanu -5 'y na druhou' a když je sečtu, dostanu '4y'. Přemýšlejme o tom, jak bychom to mohli udělat. Jednou z možností by bylo kladné… …řekněme +y a -5y. Kam nás to dostane? 'y' krát '-5y' by bylo jistě rovno -5 'y na druhou'. Když však sečtu 'y' s '-5y', dostanu -4y. Tohle tedy nefunguje. Co se stane, prohodíme-li tato dvě znaménka? Jak by to dopadlo pro '-y' a '5y'? Součin '-y' s '5y' bude -5 'y na druhou' a součet '-y' s '5y' bude '+4y'. Teď tedy víme, jak to rozložit. Ještě jednou… Označím to stejnou barvou. Tohle udělám světle fialovou a tohle tmavější fialovou. Teď tedy víme, jak to rozložit. Je to úplně stejný postup, stejná myšlenka, jako jsme dělali zde. Tohle bude 'x'… Namísto pouhého 'minus 1' zde… Tady jsme to rozložili na '-1' a '5'. Tady jsme to rozložili na '-y' a '5y'. Namísto '-1' to bude '-y'. (x minus y) krát (x plus 5y). Můžeme si to ověřit roznásobením. Opravdu se to pak rovná 'x na druhou' plus 4xy minus 5 'y na druhou'. Udělejme to tady, jen abychom si byli jisti. 'x' krát 'x' bude 'x na druhou'. Udělám vše různými barvami. 'x' krát '5y' bude '5xy'. '-y' krát 'x' bude '-yx'. A konečně, už mi docházejí barvy, vezmu-li '-y' krát '5y', dostanu -5 'y na druhou'. Teď to jen zjednodušíme. Dáme dohromady tyto dva prostřední členy. Na první pohled to vypadá… Tohle je 'xy'. Tohle je 'yx'. Není to zřejmé. Musíme to přepsat. Tohle to stejné jako '5yx' minus 'yx'. Říkáte, že máte '5yx' a odečtete od toho 'yx'. Dostanete '4yx'. Bude to tedy '4yx'. Máte '5yx', odeberete 'yx', dostanete '4yx'. Bude to tedy 'x na druhou' plus 4yx minus 5 'y na druhou'. Všechno to funguje.
video