Rozklad mnohočlenů
Přihlásit se
Rozklad mnohočlenů (21/24) · 4:46

Rozklad součtu třetích mocnin Na příkladu si ukážeme, jak použít vzoreček a³ + b³ k rozkladu výrazu na součin. Také si ukážeme, jak se dá ověřit platnost tohoto vzorce.

Navazuje na Mnohočleny.
Rozložte 27x na šestou plus 125. Tohle je celkem zajímavý příklad. A jediná možnost, jak to vyřešit, je, když v tom uvidíte zvláštní formu. A nejdříve vám chci ukázat tuto zvláštní formu. A od toho se můžeme odpíchnout. Zvláštní forma vypadá tak, že si vezmu… A tohle byste měli vědět. Sice obecně byste to nemuseli vědět, ale musíte to vědět, abyste vyřešili tento příklad. Pokud máme a na druhou minus ab plus b na druhou a to vynásobíme krát (a plus b), zamysleme se, co vyjde. Vyjde nám součin, protože násobíme. Takže provedeme algebraické násobení. Takže 'b' krát 'b na druhou' je 'b na třetí'. 'b' krát '−ab' je '−ab na druhou'. 'b' krát 'a na druhou' je 'a na druhou b'. Teď vynásobíme horní člen krát 'a'. 'a' krát 'b na druhou' je 'ab na druhou'. 'a' krát '−ab' je '−a na druhou b'. 'a' krát 'a na druhou' je 'a na třetí'. A teď sečteme všechny členy. Máme '+a na druhou b' a '−a na druhou b'. Takže tohle se vyruší. Máme '−ab na druhou' a '+ab na druhou'. Tohle se taky vyruší. Takže nám zbyde 'a na třetí' a plus tohle 'b na třetí'. Nebo se na to dívejte takto… Pokud vám někdo dá 'a na třetí' plus 'b na třetí', může se to rozložit na tyto dva výrazy. Může se to rozložit na (a plus b) krát (a na druhou minus ab plus b na druhou). Tohle je ta zvláštní forma. Pokud máte součet třetích mocnin, můžete to rozložit na součet třetích odmocnin krát tento výraz. Ukázali jsme, že to funguje. Takže teď to zkusíme na našem výrazu. 27 je rozhodně třetí mocninou 3. 3 na třetí je 27. 'x na šestou' je také třetí mocninou 'x na druhou'. Pokud umocníte 'x na šestou' na 1/3, dostanete 'x na druhou'. Takže tento první člen můžeme přepsat jako 3(x na druhou) na třetí. A druhý člen je 5 na třetí, takže plus 5 na třetí. Tohle může být pro vás trochu matoucí. Takže… Opakování je matka moudrosti. Vynásobme 3x na druhou krát 3x na druhou krát 3x na druhou. To se doslova rovná 3 krát 3 krát 3 krát 'x na druhou' krát 'x na druhou' krát 'x na druhou'. Tohle je rovno 27. 'x na druhou' krát 'x na druhou' je 'x na čtvrtou', krát 'x na druhou', a to je 'x na šestou'. Nebo můžete umocnit oba členy na třetí. 3 na třetí je 27. x na druhou na třetí… Vezmete oba mocnitele a spolu je vynásobíte. Takže 'x' na (2 krát 3), takže 'x na šestou'. A máme tu vzor, kterého můžeme využít. Takže ho použijeme. Máme součet třetích mocnin. S použitím tohoto vzoru ho můžeme rozložit. Tohle je '3x na druhou'… To je naše 'a'. Vyjasním vám to. Tohle je naše 'a'. A tohle je naše 'b'. Takže to bude 'a plus b'. Takže to bude 3x na druhou plus b, plus 5 krát a na druhou. Udělám to jinou barvou. Takže '3x na druhou na druhou'… Zamyslíme se nad tím. '3x na druhou na druhou', tak to bude '9x na čtvrtou'. Takže to bude '9x na čtvrtou' minus součin těchto dvou členů. Takže minus součin 5 a '3x na druhou', takže '15x na druhou'. A nakonec plus 'b na druhou', 'b' je 5. Takže to je 5 na druhou a to je 25. A tím 'b' myslím tohle, ne to celé 5 na třetí. A když mluvím o 'a', tak tím myslím tohle. A máme hotovo. A tohle už nebudu vysvětlovat v tomto videu. Ale tohle, pokud myslíme v reálných číslech, už nejde dál rozložit. Takže máme rozklad hotov. A pamatujte, tohle je opravdu zvláštní případ, kdy to jde rozeznat jako součet třetích mocnin.
video